题目内容

【题目】如图,已知抛物线经过点A(2,0),B(3,3)及原点O,顶点为C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以A,O,D,E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标;

(3)P是抛物线上第二象限内的动点,过点P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P使得以点P,M,A为顶点的三角形与BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2-2x;(2)点P的坐标为(-)或(-3,15).

【解析】

试题分析:(1)根据抛物线过A(2,0)及原点可设y=a(x-2)x,然后根据抛物线y=a(x-2)x过B(3,3),求出a的值即可;

(2)首先由A的坐标可求出OA的长,再根据四边形AODE是平行四边形,D在对称轴直线x=-1右侧,进而可求出D横坐标为:-1+2=1,代入抛物线解析式即可求出其横坐标;

(3)分PMA∽△COB和PMA∽△BOC表示出PM和AM,从而表示出点P的坐标,代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值,从而确定点P的坐标.

试题解析:(1)根据抛物线过A(2,0)及原点,可设y=a(x-2)(x-0),

抛物线y=a(x-2)x过B(3,3),

3(3-2)a=3,

a=1,

抛物线的解析式为y=(x-2)x=x2-2x;

(2)若OA为对角线,则D点与C点重合,点D的坐标应为D(1,-1);

若OA为平行四边形的一边,则DE=OA,点E在抛物线的对称轴上,

点E横坐标为1,

点D的横坐标为3或-1,代入y=x2-2x得D(3,3)和D(-1,3),

综上点D坐标为(1,-1),(3,3),(-1,3).

(3)点B(3,3)C(1,-1),

∴△BOC为直角三角形,COB=90°,且OC:OB=1:3,

如图1,

PMA∽△COB,设PM=t,则AM=3t,

点P(2-3t,t),

代入y=x2-2x得(2-3t)2-2(2-3t)=t,

解得t1=0(舍),t2=

P(-)

如图2,

PMA∽△BOC,

设PM=3t,则AM=t,点P(2-t,3t),代入y=x2-2x得(2-t)2-2(2-t)=3t,

解得t1=0(舍),t2=5,

P(-3,15)

综上所述,点P的坐标为(-)或(-3,15).

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