题目内容
【题目】如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3),顶点为点B,点P为抛物线上的一个动点,l是过点(0,2)且垂直于y轴的直线,过P作PH⊥l,垂足为H,连接PO.
(1)求抛物线的解析式,并写出其顶点B的坐标;
(2)①当P点运动到A点处时,计算:PO= ,PH= ,由此发现,PO PH(填“>”、“<”或“=”);
②当P点在抛物线上运动时,猜想PO与PH有什么数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图2,设点C(1,﹣2),问是否存在点P,使得以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x2+1,顶点B(0,1);(2)①5,5,=;②结论:PO=PH,理由详见解析;(3)点P坐标(1,)或(﹣1,).
【解析】
试题分析:(1)把A点的坐标代入y=ax2+1求得a值,即可得函数解析式,根据解析式确定顶点坐标即可;(2)①求出PO、PH即可得结论;②结论:PO=PH.设点P坐标(m,﹣m2+1),根据两点之间距离公式分别求得PH、PO长,即可得结论.(3)首先判断PH与BC,PO与AC是对应边,设点P(m,﹣m2+1),由列出方程即可解决问题.
试题解析:(1)解:∵抛物线y=ax2+1经过点A(4,﹣3),
∴﹣3=16a+1,
∴a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣x2+1,顶点B(0,1).
(2)①当P点运动到A点处时,∵PO=5,PH=5,
∴PO=PH,
②结论:PO=PH.
理由:设点P坐标(m,﹣m2+1),
∵PH=2﹣(﹣m2+1)=m2+1
PO==m2+1,
∴PO=PH.
(3)∵BC=,AC=,AB=,
∴BC=AC,
∵PO=PH,
又∵以P,O,H为顶点的三角形与△ABC相似,
∴PH与BC,PO与AC是对应边,
∴,设点P(m,﹣m2+1),
∴,
解得m=±1,
∴点P坐标(1,)或(﹣1,).
【题目】有这样一个问题:探究函数的图象与性质.小聪根据学习函数的经验,对函数的图象与性质进行了探究.下面是小聪的探究过程,请补充完整:
(1)函数的自变量的取值范围是____;
(2)下表是与的几组对应值,请直接写出m的值,
… | -3 | -1.5 | -1 | 0 | 0.6 | 1.4 | 1.5 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | … | ||
… | 0.5 | 0.2 | 0 | -1 | -3 | -4 | 6 | 5 | 3 | 2 | 1.8 | 1.5 | … |
(3)请在平面直角坐标系xoy中,描出以上表中各组对应值为坐标的点,并画出该函数的图象.
(4)结合函数图象,写出该函数的一条性质:
【题目】9岁的小芳身高1.36米,她的表姐明年想报考北京的大学.表姐的父母打算今年暑假带着小芳及其表姐先去北京旅游一趟,对北京有所了解.他们四人7月31日下午从无锡出发,1日到4日在北京旅游,8月5日上午返回无锡.
无锡与北京之间的火车票和飞机票价如下:火车 (高铁二等座) 全票524元,身高1.1~1.5米的儿童享受半价票;飞机 (普通舱) 全票1240元,已满2周岁未满12周岁的儿童享受半价票.他们往北京的开支预计如下:
住宿费 (2人一间的标准间) | 伙食费 | 市内交通费 | 旅游景点门票费 (身高超过1.2米全票) |
每间每天x元 | 每人每天100元 | 每人每天y元 | 每人每天120元 |
假设他们四人在北京的住宿费刚好等于上表所示其他三项费用之和,7月31日和8月5日合计按一天计算,不参观景点,但产生住宿、伙食、市内交通三项费用.
(1)他们往返都坐火车,结算下来本次旅游总共开支了13668元,求x,y的值;
(2)若去时坐火车,回来坐飞机,且飞机成人票打五五折,其他开支不变,他们准备了14000元,是否够用? 如果不够,他们准备不再增加开支,而是压缩住宿的费用,请问他们预定的标准间房价每天不能超过多少元?