Question

【题目】如图，线段 AB=24，动点 P 从 A 出发，以每秒 2 个单位的速度沿射线 AB运动，运动时间为 t 秒（t>0），M 为 AP 的中点.

（1）当点 P 在线段 AB 上运动时，

①当 t 为多少时，PB=2AM？②求2BM-BP的值.

（2）当 P 在 AB 延长线上运动时，N 为 BP 的中点，说明线段 MN 的长度不变，并 求出其值.

（3）在 P 点的运动过程中，是否存在这样的 t 的值，使 M、N、B 三点中的一个点 是以其余两点为端点的线段的中点，若有，请求出 t 的值；若没有，请说明理 由.

Answer 1

【答案】（1）①6②24（2）12（3）18或36

【解析】试题分析：（1）①分两种情况讨论：点P在点B左边；点P在点B右边，分别求出t的值即可；

②AM=x，BM=24﹣x，PB=24﹣2x，表示出2BM﹣BP后，化简即可得出结论；

（2）PA=2x，AM=PM=x，PB=2x﹣24，PN=PB=x﹣12，表示出MN的长度，即可得到结论；

（3）分三种情况讨论：①当P在线段AB上时；②当P在线段AB的延长线上，M在线段AB上时；③当P和M都在线段AB的延长线上时．

试题解析：解：（1）①设出发x秒后PB=2AM，当点P在点B左边时，PA=2x，PB=24﹣2x，AM=x，由题意得：24﹣2x=2x，解得：x=6；

当点P在点B右边时，PA=2x，PB=2x﹣24，AM=x，由题意得：2x﹣24=2x，方程无解．

综上所述：出发6秒后PB=2AM．

②∵AM=x，BM=24﹣x，PB=24﹣2x，∴2BM﹣BP=2（24﹣x）﹣（24﹣2x）=24；

（2）∵PA=2x，AM=PM=x，PB=2x﹣24，PN=PB=x﹣12，∴MN=PM﹣PN=x﹣（x﹣12）=12（定值）；

（3）①当P在线段AB上时，如图1，有AP=2t，BP=24-2t，AM=MP=t，PN=NB=12-t，MN=12．若MN=NB，则12=12-t，解得t=0，不合题意，舍去．

②当P在线段AB的延长线上，M在线段AB上时，如图2，有AP=2t，BP=2t-24，AM=MP=t，MB=24-t， PN=NB=t-12．若MB=NB，则24-t=t-12，解得t=18．

③当P和M都在线段AB的延长线上时，如图3，有AP=2t，BP=2t-24，AM=MP=t，MB=t-24， PN=NB=t-12，MN=BN-BM=t-12-（t-24）=12．若MB=MN，则t-24= 12，解得t=36．

综上所述：t=18或36．