题目内容

【题目】如图,RtABC,ACB=90°,AC=BC=2.动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发,沿ACB的方向向终点B运动(P不与△ABC的顶点重合).P关于点C的对称点为点D,过点PPQAB于点Q,PDPQ为边作PDEQ.PDEQ与△ABC.重叠部分的面积为S,P的运动时间为t(s)

(1)当点PAC上运动时,用含t的代数式表示PD的长;

(2)当点E落在△ABC的直角边上时,t的值;

(3)PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时,St之间的函数关系式.

【答案】14-4t;(2;(3

【解析】

1)由题意得AP=2t,得到PC=2-2t,再根据对称性即可求解;

2)根据题意作图分情况讨论,利用三角函数及三角形的关系即可列式求解;

3)根据题意分情况讨论,利用割补法即可求解.

1)∵AC=2,由题意得AP=2t

PC=2-2t

PD关于C对称,

PD=2PC=4-4t;

2)如图,当PBC边上时,PC=2t-2∴PD=4t-4

∵四边形PDEQ为平行四边形,

QE=PD=4t-4,QE∥PD

∵∠ACB=90°AC=BC=2,

∴∠A=∠B=45°,∠QEA=90°,

∴AQ==4t-4

∵BC=2,∴BP=4-2t,

∴QB=BP·cos45°=2-t

∵AB=

AQ+QB=4t-4+2-t=2

解得t=

如图②,当PAD边上时,由(1)得PD=4-4t

QE=PD=4-4t,

∵∠B=45°

QB=4-4t

∵AP=2t

∴AQ=t,

∵AB=2

t+4-4t=2

解得t=

综上,t=

3)如图,由(2)得当PBC上时,设QEAC交于M

PC=2t-2

BP=2-(2t-2)=4-2t

∴BQ=2-t

∴AQ=AB-QB=2-2-t=t

∴AM=AQ·cos45°=t,

∴SAMQ=SBQP=BQ×QP=4-4t+,

∴S四边形QMCP= SACB- SAMQ- SBQP=

如图④,当时,PAC上时,设QEBC交于M

AQ=t

BQ=2-t

∴BM=BQ·cos45°=2-t,

∴SQMB=SAQP=,

∴S四边形QMCP= SACB- SQMB- SAQP=

综上,

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