题目内容
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2.动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发,沿A→C→B的方向向终点B运动(点P不与△ABC的顶点重合).点P关于点C的对称点为点D,过点P作PQ⊥AB于点Q,以PD、PQ为边作□PDEQ.设□PDEQ与△ABC.重叠部分的面积为S,点P的运动时间为t(s)
(1)当点P在AC上运动时,用含t的代数式表示PD的长;
(2)当点E落在△ABC的直角边上时,求t的值;
(3)当□PDEQ与△ABC重叠部分的图形是四边形时,求S与t之间的函数关系式.
【答案】(1)4-4t;(2)或;(3)
【解析】
(1)由题意得AP=2t,得到PC=2-2t,再根据对称性即可求解;
(2)根据题意作图分情况讨论,利用三角函数及三角形的关系即可列式求解;
(3)根据题意分情况讨论,利用割补法即可求解.
(1)∵AC=2,由题意得AP=2t,
∴PC=2-2t,
∵P、D关于C对称,
∴PD=2PC=4-4t;
(2)如图①,当P在BC边上时,PC=2t-2,∴PD=4t-4,
∵四边形PDEQ为平行四边形,
∴QE=PD=4t-4,QE∥PD,
∵∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴∠A=∠B=45°,∠QEA=90°,
∴AQ==(4t-4)
∵BC=2,∴BP=4-2t,
∴QB=BP·cos45°=(2-t)
∵AB=
∴AQ+QB=(4t-4)+(2-t)=2
解得t=;
如图②,当P在AD边上时,由(1)得PD=4-4t,
∴QE=PD=4-4t,
∵∠B=45°,
QB=(4-4t)
∵AP=2t,
∴AQ=t,
∵AB=2
∴t+(4-4t)=2
解得t=;
综上,t=或;
(3)如图③,由(2)得当,P在BC上时,设QE与AC交于M,
∵PC=2t-2,
∴BP=2-(2t-2)=4-2t,
∴BQ=(2-t)
∴AQ=AB-QB=2-(2-t)=t
∴AM=AQ·cos45°=t,
∴S△AMQ=,S△BQP=BQ×QP=4-4t+,
∴S四边形QMCP= S△ACB- S△AMQ- S△BQP=;
如图④,当时,P在AC上时,设QE与BC交于M,
∵AQ=t
∴BQ=2-t
∴BM=BQ·cos45°=2-t,
∴S△QMB=,S△AQP=,
∴S四边形QMCP= S△ACB- S△QMB- S△AQP=
综上,,