Question

如图，已知点A、B分别在x轴、y轴上，AB=12，∠OAB=30°，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．
（1）直接写出A、B点坐标是A点

 

，B点

 

；
（2）用含t的代数式求出表示点P的坐标；
（3）过O作OC⊥l于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并写出此时⊙P与直线CD的位置关系．

Answer 1

分析：（1）根据Rt△OAB中，根据“30°所对的直角边是斜边的一半”求得OB=6；然后利用勾股定理求得OA=6

3

，从而求得点A、B的坐标；
（2）结合题意，利用解直角三角形的知识进行求解；
（3）此题应分作两种情况考虑：
①当P位于OC左侧，⊙P与OC第一次相切时，易证得∠COB=∠BAO=30°，设直线l与OC的交点为M，根据∠BOC的度数，即可求得B′M、PM的表达式，而此时⊙P与OC相切，可得PM=1，由此可列出关于t的方程，求得t的值，进而可判断出⊙P与CD的位置关系；
②当P位于OC右侧，⊙P与OC第二次相切时，方法与①相同．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，AB=12，∠OAB=30°，
∴OB=6（30°所对的直角边是斜边的一半），
OA=6

3

（勾股定理），
∴A(6

3

，0)，B(0，6)；

（2）作PF⊥y轴于F．
∵∠BAO=30°．
∴在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，
则B′F=

t

2

，PF=

3

2

t．
又BB′=t，
∴OF=OB-BB′-B′F=6-t-

t

2

=6-

3

2

t，
则P点的坐标为（

3

2

t，6-

3

2

t）．

（3）此题应分为两种情况：
①当⊙P和OC第一次相切时，
设直线B′P与OC的交点是M．
根据题意，知∠BOC=∠BAO=30°．
则B′M=

1

2

OB′=3-

t

2

，
∵PB′=t
∴PM=B′M-PB′=3-

3

2

t．
根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，得
3-

3

2

t=1，t=

4

3

．
此时⊙P与直线CD显然相离；
②当⊙P和OC第二次相切时，
则有

3

2

t-3=1，t=

8

3

．
此时⊙P与直线CD显然相交．
答：当t=

4

3

或

8

3

时⊙P和OC相切，t=

4

3

时⊙P和直线CD相离，当t=

8

3

时⊙P和直线CD相交．

点评：此题考查了一次函数综合题．解题时，要求学生具有解直角三角形、直线和圆的位置关系等知识的综合应用能力，难度较大．