Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．
（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此抛物线的表达式与点D的坐标；
②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；

（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），

∴ ，解得 ，

∴抛物线的解析式为：y= x2﹣ x﹣4；

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．

如答图1，连接AC、BC．

由勾股定理得：AC= ，BC= ．

∵AC2+BC2=AB2=100，

∴∠ACB=90°，

∴AB为圆的直径．

由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，

∴D（0，4）．

解法一：

设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），

∴ ，解得 ，

∴直线BD解析式为：y=﹣ x+4．

设M（x， x2﹣ x﹣4），

如答图2﹣1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，﹣ x+4）．

∴ME=（﹣ x+4）﹣（ x2﹣ x﹣4）=﹣ x2+x+8．

∴S△BDM=S△MED+S△MEB= ME（xE﹣xD）+ ME（xB﹣xE）= ME（xB﹣xD）=4ME，

∴S△BDM=4（﹣ x2+x+8）=﹣x2+4x+32=﹣（x﹣2）2+36．

∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；

解法二：

如答图2﹣2，过M作MN⊥y轴于点N．

设M（m， m2﹣ m﹣4），

∵S△OBD= OBOD= =16，

S梯形OBMN= （MN+OB）ON

= （m+8）[﹣（ m2﹣ m﹣4）]

=﹣ m（ m2﹣ m﹣4）﹣4（ m2﹣ m﹣4），

S△MND= MNDN

= m[4﹣（ m2﹣ m﹣4）]

=2m﹣ m（ m2﹣ m﹣4），

∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN﹣S△MND

=16﹣ m（ m2﹣ m﹣4）﹣4（ m2﹣ m﹣4）﹣2m+ m（ m2﹣ m﹣4）

=16﹣4（ m2﹣ m﹣4）﹣2m

=﹣m2+4m+32

=﹣（m﹣2）2+36；

∴当m=2时，△BDM的面积有最大值为36．

（2）

解：如答图3，连接AD、BC．

由圆周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，

∴△AOD∽△COB，

∴ = ，

设A（x1，0），B（x2，0），

∵已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0），

∵OC=﹣c，x1x2=c，

∴ = ，

∴OD= =1，

∴无论b，c取何值，点D均为定点，该定点坐标D（0，1）．

【解析】（1）①利用待定系数法求抛物线的解析式；利用勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，由圆周角定理得AB为圆的直径，再由垂径定理知点C、D关于AB对称，由此得出点D的坐标；②求出△BDM面积的表达式，再利用二次函数的性质求出最值．解答中提供了两种解法，请分析研究；（2）根据抛物线与x轴的交点坐标、根与系数的关系、相似三角形求解．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．