题目内容
【题目】如图,是的直径,点为上一点,为的切线,于点,分别交、于、两点.
(1)求证:;
(2)若的半径为,,求的长.
【答案】(1)见解析;(2)MC=.
【解析】
(1)连接OC,利用切线的性质可知∠OCA+∠ACM=90°,结合已知OM⊥AB可得∠ACM=∠ODA=∠CDM,即可证明;
(2)易证△AOD∽△ACB,从而根据相似三角形的性质可得,由勾股定理可求BC=,进而求OD=,在Rt△OCM中利用列方程勾股定理即可求出MC.
解:(1)连接OC,
∵CN为⊙O的切线,
∴OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90°,
∵OM⊥AB,
∴∠OAC+∠ODA=90°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,
∴MD=MC;
(2)由题意可知AB=5×2=10,AC=4,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴BC==,
∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,
∴△AOD∽△ACB,
∴ 即,
可得:OD=,
设MC=MD=x,在Rt△OCM中,由勾股定理得:(x+)2=x2+52,
解得:x=,
即MC=.
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