Question

如图：是规格为8×8的正方形的网格，请你在所给的网格中按下列要求操作：
（1）在网格中建立直角坐标系，使A点坐标为（4，-2），B点坐标为（2，-4）；
（2）在第四象限的格点上，画一点C，使点C与线段组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长为无理数，则C点坐标是______，△ABC的周长是______；
（3）画出△ABC以点C为旋转中心，旋转180°后的△A₁B₁C，连接AB₁和A₁B，试写出四边形ABA₁B₁是何特殊四边形，并说明理由．

Answer 1

解：（1）建立直角坐标系如下：
．
（2）点C的位置如图所示：
，
点C的坐标为（1，-1），AB=2，BC=，AC=，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+2．
（3）所作图形如下：

∵A₁B₁=AB=2，AB₁=A₁B=4，
∴四边形ABA₁B₁是平行四边形，
又∵A₁B₁+AB₁²=AA₁²，
∴∠AB₁A₁=90°，
∴四边形ABA₁B₁是矩形．
分析：（1）根据点A的坐标，可得原点在点A左边4个单位，上边2个单位，然后建立直角坐标系即可；
（2）作AB的中垂线，寻找符合题意的点C即可，利用格点三角形求出各边的长度即可得出△ABC的周长；
（3）根据题意可得△A₁B₁C与△ABC关于点C中心对称，结合图形可判断四边形ABA₁B₁是矩形．
点评：本题考查了旋转作图的知识，解答本题要掌握旋转作图的特点，能根据旋转三要素找到各点的对应点．