题目内容
（2013•鹰潭模拟）已知：抛物线m：y=a（x-2）2+b（ab＜0）的顶点为P，与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）当a=-1，b=4，直接写出与抛物线m有关的三条正确结论；
（2）若抛物线m经过原点，且△ABP为直角三角形．求a，b的值；
（3）若将抛物线m沿x轴翻折180°得抛物线n，抛物线n的顶点为Q，则以A，P，B，Q为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．
（1）当a=-1，b=4，直接写出与抛物线m有关的三条正确结论；
（2）若抛物线m经过原点，且△ABP为直角三角形．求a，b的值；
（3）若将抛物线m沿x轴翻折180°得抛物线n，抛物线n的顶点为Q，则以A，P，B，Q为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．
分析：（1）根据y=a（x-2）2+b利用a=-1，b=4，直接得出答案；
（2）根据直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0），以及抛物线经过原点，得出A（0，0），B（4，0），进而求出AE=BE=EC，当抛物线的顶点为P（2，-2）时，以及当抛物线的顶点为P′（2，2）时求出即可；
（3）根据抛物线m沿x轴翻折180°得抛物线n，则AB=PQ时，四边形APBQ是正方形，即可求出．
（2）根据直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0），以及抛物线经过原点，得出A（0，0），B（4，0），进而求出AE=BE=EC，当抛物线的顶点为P（2，-2）时，以及当抛物线的顶点为P′（2，2）时求出即可；
（3）根据抛物线m沿x轴翻折180°得抛物线n，则AB=PQ时，四边形APBQ是正方形，即可求出．
解答：解：（1）①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴是：x=2；
③抛物线的顶点坐标是（2，4）（答案不唯一）；
（2）设直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0）．
∵抛物线经过原点，∴A（0，0），B（4，0）．
△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AP=BP，
∴AE=BE=PE，
∴P（2，-2）或（2，2）．
当抛物线的顶点为P（2，-2）时，y=a（x-2）2-2，把（0，0）代入，
得：a=
，此时，b=-2．
当抛物线的顶点为P（2，2）时，y=a（x-2）2+2，把（0，0）代入，
得：a=-
，此时，b=2．
∴a=
，b=-2或a=-
，b=2．
（3）依题意，A、B关于点E中心对称，当P，Q也关于点E对称，
则当AB=PQ时，四边形APBQ是正方形．
令y=0，则a（x-2）2+b=0
解得：x1=2+
，x2=2-
且E（2，0）
∴AB=x1-x2=2
，PQ=2|b|，
∴2
=2|b|，
∴ab=-1．
③抛物线的顶点坐标是（2，4）（答案不唯一）；
（2）设直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0）．
∵抛物线经过原点，∴A（0，0），B（4，0）．
△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AP=BP，
∴AE=BE=PE，
∴P（2，-2）或（2，2）．
当抛物线的顶点为P（2，-2）时，y=a（x-2）2-2，把（0，0）代入，
得：a=
| 1 |
| 2 |
当抛物线的顶点为P（2，2）时，y=a（x-2）2+2，把（0，0）代入，
得：a=-
| 1 |
| 2 |
∴a=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）依题意，A、B关于点E中心对称，当P，Q也关于点E对称，则当AB=PQ时，四边形APBQ是正方形．
令y=0，则a（x-2）2+b=0
解得：x1=2+
-
|
-
|
∴AB=x1-x2=2
-
|
∴2
-
|
∴ab=-1．
点评：此题主要考查了二次函数的顶点式的应用以及二次函数的对称性，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握．
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