Question

【题目】已知如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DE=CG，连接AE、CD．
（1）求证：△AGE≌△DAC；
（2）过E做EF∥DC．交BC于F．连接AF．判断△AEF是怎样的三角形．并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在△AGE与△DAC中，

∵DG‖BC，△ABC是等边三角形

∴AD=AG=DG

又∵DE=CG

∴EG=DE+DG=CG+AG=AC，

∠AGE=∠DAC=60°

在△AGE和△DAC中，

，

∴△AGE≌△DAC

（2）证明：判断：△AEF是等边三角形

证明：∵EF∥DC

∴∠GEF=∠GDC

又∵∠AEG=∠ACD

∴∠AEG+∠GEF=∠GCD+∠GDC=∠AGD=60°

∴∠AEF=60°

又∵DG∥BC，EF∥DC

∴四边形CDEF是平行四边形

∴DC=EF

又∵△AGE≌△DAC

∴AE=DC

∴AE=EF

∴△AEF是等边三角形

【解析】（1）根据已知等边三角形的性质可推出△ADG是等边三角形，从而再利用SAS判定△AGE≌△DAC；（2）连接AF，由已知可得四边形EFCD是平行四边形，从而得到EF=CD，∠DEF=∠DCF，由（1）知△AGE≌△DAC得到AE=CD，∠AED=∠ACD，从而可得到EF=AE，∠AEF=60°，所以△AEF为等边三角形．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等边三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．