题目内容
【题目】如图,在直角三角形ABC中,直角边,,设P、Q分别为AB,BC上的动点,点P自点A沿AB方向向点B作匀速移动且速度为每秒2cm,同时点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动且速度为每秒1cm,当P点到达B点时,Q点就停止移动.设P,Q移动的时间t秒.
(1)写出的面积S()与时间t(s)之间的函数表达式,并写出t的取值范围.
(2)当t为何值时,为等腰三角形?
【答案】(1);(2)当t或或时,为等腰三角形.
【解析】
(1)过点P作PH⊥BC,垂足为H,从而得到△BPH∽△ABC,根据相似比例求出PH的长,然后表示出三角形PBQ的面积即可;
(2)需要分BP=BQ,BQ=PQ和BP=PQ三种情况讨论三角形PBQ为等腰三角形,即最后分别求值即可.
(1)如图1,过点P作PH⊥BC,垂足为H,
∵Rt△ABC中直角边AC=6,BC=8
∴由勾股定理可得AB=10,
∴BP=10-2t,BQ=t.
∵AC⊥C B
∴△BPH∽△ABC,
∴ 即,解得;
∴
(2)①当BP=BQ时,10-2t=t,解得t= 秒;
②如图2,当BQ=PQ时,作QE⊥BD,垂足为E,
∵BQ=PO,QE⊥BD,
∴
∵∠B=∠B, ∠ACB=∠QEB,
∴△BQE∽△BAC
∴,即,即得:t= 秒;
③如图3,当BP=PQ时,作PF⊥BC,垂足为F
∵BP=PQ,PF⊥BC,
∴
∵
∴△BPF∽△BAC,
∴,即:,解得:t=秒
综上:当或或时,为等腰三角形.