Question

在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如上右图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，3）．延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为

10•(

4

3

)4022

．

Answer 1

分析：根据点A、D的坐标求出OA、OD的长，然后利用勾股定理列式求出AD，再求出△AOD和△A₁BA相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出A₁B，从而求出第二个正方形的边长A₁C=A₁B₁，同理求出第三个正方形的边长A₂C₁=A₂B₂，根据规律求出第2012个正方形的边长，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：∵点A（1，0），点D（0，3），
∴OA=1，OD=3，
∴AD=

32+12

=

10

，
∵∠ADO+∠DAO=180°-90°=90°，
∠DAO+∠BAA₁=180°-90°=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
又∵∠AOD=∠ABA₁=90°，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴

OD

AD

=

OA

A1B

，
∴A₁B=

10

3

，
∴第二个正方形的边长：A₁C=A₁B₁=

10

+

10

3

=

4 10

3

，
∴第三个正方形的边长：A₂C₁=A₂B₂=（

4

3

）²

10

，
∴第四个正方形的边长：=（

4

3

）³

10

，
…，
第2012个正方形的边长：=（

4

3

）²⁰¹¹

10

，
∴第2013个正方形的面积为[：（

4

3

）²⁰¹¹

10

]²=10•(

4

3

)4022，

故答案为：10•(

4

3

)4022．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，依次求出正方形的边长是解题的关键，题目的计算量不小，难度中等．