Question

【题目】已知方程．

若，求方程的根；

找出一组正整数，，使得方程的三个根均为整数；

证明：只有一组正整数，，使得方程的三个根均为整数．

Answer 1

【答案】(1);(2) 当时，方程的三个根均为整数；(3)见解析.

【解析】

（1）若n=m=0，则方程化为x3-3x2+3x-1=0，即（x-1）3=0．求解即可；

（2）设方程x2-23mx+5n=0的两个解为x1，x2．根据公式法求得后，再确定m，n的值；

（3）设9m-5n=k2（其中k为整数），有9m-k2=5n，即（3m-k）（3m+k）=5n，再设

（其中i+j=n，i，j为非负整数），因此23m=5j（5j-i+1），可得到23m=5n+1，然后讨论m，n的取值．

解：若，则方程化为，即．

所以．

(2)方程化为

设方程的两个解为，．

则．

当时，方程的三个根均为整数；

(3)设（其中为整数）

所以，即，

不妨设（其中，，为非负整数），

因此：，

又∵不能整除，

∴，因此有，

要使三根均为整数，则只有一组正整数，此时，．