题目内容
含30°角的直角三角板ABC中,∠A=30°.将其绕直角顶点C顺时针旋转α角(0°<α<120°且α≠90°),得到Rt△A'B'C,A'C边与AB所在直线交于点D,过点D作DE∥A'B'交CB'边于点E,连接BE.
(1)如图1,当A'B'边经过点B时,α=______°;
(2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论;
(3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=
S△ABC时,求AD的长,并判断此时直线A'C与⊙E的位置关系.
(1)如图1,当A'B'边经过点B时,α=______°;
(2)在三角板旋转的过程中,若∠CBD的度数是∠CBE度数的m倍,猜想m的值并证明你的结论;
(3)设BC=1,AD=x,△BDE的面积为S,以点E为圆心,EB为半径作⊙E,当S=
1 |
3 |
(1)当A′B′过点B时,α=60°;
(2)猜想:①如图1,点D在AB边上时,m=2;
②如图2,点D在AB的延长线上时,m=4.
证明:①当0°<α<90°时,点D在AB边上(如图1).
∵DE∥A′B′,
∴
=
.
由旋转性质可知,CA=CA′,CB=CB′,∠ACD=∠BCE.
∴
=
.
∴△CAD∽△CBE.
∴∠A=∠CBE=30°.
∵点D在AB边上,∠CBD=60°,
∴∠CBD=2∠CBE,即m=2.
②当90°<α<120°时,点D在AB的延长线上(如图2).
与①同理可得∠A=∠CBE=30°.
∵点D在AB的延长线上,∠CBD=180°-∠CBA=120°,
∴∠CBD=4∠CBE,
即m=4;
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,
∴AB=2,AC=
,S△ABC=
.
由△CAD∽△CBE得
=
.
∵AD=x,
∴
=
,BE=
x.
①当点D在AB边上时,AD=x,BD=AB-AD=2-x,∠DBE=90°.
此时,S=S△BDE=
BD×BE=
(2-x)×
=
.
当S=
S△ABC时,
=
.
整理,得x2-2x+1=0.
解得x1=x2=1,即AD=1.
此时D为AB中点,∠DCB=60°,∠BCE=30°=∠CBE.(如图3)
∴EC=EB.
∵∠A′CB′=90°,点E在CB′边上,
∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB.
∴直线A′C与⊙E相切.
②当点D在AB的延长线上时,AD=x,BD=x-2,∠DBE=90°.(如图2).S=S△BDE=
BD×BE=
(x-2)×
=
.
当S=
S△ABC时,
=
.
整理,得x2-2x-1=0.
解得x1=1+
,x2=1-
(负值,舍去).
即AD=1+
.
此时∠BCE=α,而90°<α<120°,∠CBE=30°,
∴∠CBE<∠BCE.
∴EC<EB,即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB.
∴直线A′C与⊙E相交.
(2)猜想:①如图1,点D在AB边上时,m=2;
②如图2,点D在AB的延长线上时,m=4.
证明:①当0°<α<90°时,点D在AB边上(如图1).
∵DE∥A′B′,
∴
CD |
CA′ |
CE |
CB′ |
由旋转性质可知,CA=CA′,CB=CB′,∠ACD=∠BCE.
∴
CD |
CA |
CE |
CB |
∴△CAD∽△CBE.
∴∠A=∠CBE=30°.
∵点D在AB边上,∠CBD=60°,
∴∠CBD=2∠CBE,即m=2.
②当90°<α<120°时,点D在AB的延长线上(如图2).
与①同理可得∠A=∠CBE=30°.
∵点D在AB的延长线上,∠CBD=180°-∠CBA=120°,
∴∠CBD=4∠CBE,
即m=4;
(3)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=1,
∴AB=2,AC=
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由△CAD∽△CBE得
AD |
AC |
BE |
BC |
∵AD=x,
∴
x | ||
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BE |
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①当点D在AB边上时,AD=x,BD=AB-AD=2-x,∠DBE=90°.
此时,S=S△BDE=
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当S=
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整理,得x2-2x+1=0.
解得x1=x2=1,即AD=1.
此时D为AB中点,∠DCB=60°,∠BCE=30°=∠CBE.(如图3)
∴EC=EB.
∵∠A′CB′=90°,点E在CB′边上,
∴圆心E到A′C的距离EC等于⊙E的半径EB.
∴直线A′C与⊙E相切.
②当点D在AB的延长线上时,AD=x,BD=x-2,∠DBE=90°.(如图2).S=S△BDE=
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当S=
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整理,得x2-2x-1=0.
解得x1=1+
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2 |
即AD=1+
2 |
此时∠BCE=α,而90°<α<120°,∠CBE=30°,
∴∠CBE<∠BCE.
∴EC<EB,即圆心E到A′C的距离EC小于⊙E的半径EB.
∴直线A′C与⊙E相交.
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