题目内容

【题目】在直角坐标系中,C过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(0,).

(1)求圆心C的坐标.

(2)抛物线y=ax2+bx+c过O,A两点,且顶点在正比例函数y=-的图象上,求抛物线的解析式.

(3)过圆心C作平行于x轴的直线DE,交C于D,E两点,试判断D,E两点是否在(2)中的抛物线上.

(4)若(2)中的抛物线上存在点P(x0,y0),满足APB为钝角,求x0的取值范围.

【答案】(1)圆心C的坐标为(1,

(2)抛物线的解析式为y=x2x

(3)点D、E均在抛物线上

(4)﹣1x00,或2x03.

析】

试题分析:(1)如图线段AB是圆C的直径,因为点A、B的坐标已知,根据平行线的性质即可求得点C的坐标;

(2)因为抛物线过点A、O,所以可求得对称轴,即可求得与直线y=﹣x的交点,即是二次函数的顶点坐标,利用顶点式或者一般式,采用待定系数法即可求得抛物线的解析式;

(3)因为DEx轴,且过点C,所以可得D、E的纵坐标为,求得直径AB的长,可得D、E的横坐标,代入解析式即可判断;

(4)因为AB为直径,所以当抛物线上的点P在C的内部时,满足APB为钝角,所以﹣1x00,或2x03.

试题分析:(1)∵⊙C经过原点O

AB为C的直径

C为AB的中点

过点C作CH垂直x轴于点H,则有CH=OB=,OH=OA=1

圆心C的坐标为(1,).

(2)抛物线过O、A两点,

抛物线的对称轴为x=1,

抛物线的顶点在直线y=﹣x上,

顶点坐标为(1,﹣).

把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,得

解得

抛物线的解析式为y=x2x.

(3)OA=2,OB=2

AB==4,即C的半径r=2,

D(3,),E(﹣1,),

代入y=x2x检验,知点D、E均在抛物线上.

(4)AB为直径,

当抛物线上的点P在C的内部时,满足APB为钝角,

﹣1x00,或2x03.

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