题目内容
【题目】在直角坐标系中,⊙C过原点O,交x轴于点A(2,0),交y轴于点B(0,).
(1)求圆心C的坐标.
(2)抛物线y=ax2+bx+c过O,A两点,且顶点在正比例函数y=-的图象上,求抛物线的解析式.
(3)过圆心C作平行于x轴的直线DE,交⊙C于D,E两点,试判断D,E两点是否在(2)中的抛物线上.
(4)若(2)中的抛物线上存在点P(x0,y0),满足∠APB为钝角,求x0的取值范围.
【答案】(1)圆心C的坐标为(1,);
(2)抛物线的解析式为y=x2﹣x;
(3)点D、E均在抛物线上;
(4)﹣1<x0<0,或2<x0<3.
【解析】
试题分析:(1)如图线段AB是圆C的直径,因为点A、B的坐标已知,根据平行线的性质即可求得点C的坐标;
(2)因为抛物线过点A、O,所以可求得对称轴,即可求得与直线y=﹣x的交点,即是二次函数的顶点坐标,利用顶点式或者一般式,采用待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(3)因为DE∥x轴,且过点C,所以可得D、E的纵坐标为,求得直径AB的长,可得D、E的横坐标,代入解析式即可判断;
(4)因为AB为直径,所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时,满足∠APB为钝角,所以﹣1<x0<0,或2<x0<3.
试题分析:(1)∵⊙C经过原点O
∴AB为⊙C的直径
∴C为AB的中点
过点C作CH垂直x轴于点H,则有CH=OB=,OH=OA=1
∴圆心C的坐标为(1,).
(2)∵抛物线过O、A两点,
∴抛物线的对称轴为x=1,
∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上,
∴顶点坐标为(1,﹣).
把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c,得,
解得,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x.
(3)∵OA=2,OB=2,
∴AB==4,即⊙C的半径r=2,
∴D(3,),E(﹣1,),
代入y=x2﹣x检验,知点D、E均在抛物线上.
(4)∵AB为直径,
∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时,满足∠APB为钝角,
∴﹣1<x0<0,或2<x0<3.