题目内容
【题目】如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点,点E是直线BC上方抛物线上的一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点E作y轴的平行线交直线BC于点M、交x轴于点F,当S△BEC=时,请求出点E和点M的坐标;
(3)在(2)的条件下,当E点的横坐标为1时,在EM上是否存在点N,使得△CMN和△CBE相似?如果存在,请直接写出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3;(2)点E的坐标是(1,3)或(2,2),M的坐标是(1,2)或(2,1);
(3)存在,N(1, )或N′(1,-10).
【解析】试题分析:(1)由直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,求出点C、B的坐标,代入y=ax2+x+c即可得得解;
(2)如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,设点E的坐标是(x,﹣ x2+x+3),则点M的坐标是(x,﹣x+3),求出EM的长,利用面积即可得解;
(3)存在.分别求出CB,CM的值,进行分类讨论即可得解.
试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴交于点C,与y轴交于点B,
∴点B的坐标是(0,3),点C的坐标是(3,0)
∵y=ax2+x+c经过B、C两点,
∴
解得
∴y=﹣x2+x+3.
(2)如图1,过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M,EF交x轴于点F,
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点,
∴设点E的坐标是(x,﹣ x2+x+3),
则点M的坐标是(x,﹣x+3),
∴EM=﹣x2+x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+x,
∴S△BEC=S△BEM+S△MEC=
=×(﹣x2+x)×3=﹣x2+x=
∴﹣x2+x=,解之得,x1=1,x2=2
即点E的坐标是(1,3)或(2,2)
此时对应的M的坐标是(1,2)或(2,1).
(3)存在.
易得∠CBE=∠CEF=45 ,CB=,CM=,BE=1,
①当时,△CMN∽△CBE,
即,得MN=,
∴FN=,N(1, )
②当时,△CMN∽△EBC,
即,得MN=12,
∴FN=-10,N′(1,-10),
∴在EM上是否存在条件的点N,是N(1, )或N′(1,-10).