题目内容

【题目】如图,直线y=x+3x轴交于点C,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+x+c经过BC两点,点E是直线BC上方抛物线上的一动点.

1)求抛物线的解析式;

2)过点Ey轴的平行线交直线BC于点M、交x轴于点F,当SBEC=时,请求出点E和点M的坐标;

3)在(2)的条件下,当E点的横坐标为1时,在EM上是否存在点N,使得CMNCBE相似?如果存在,请直接写出点N的坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】1y=x2+x+3;2)点E的坐标是(13)或(22,M的坐标是(12)或(21;

3)存在,N1 )或N′1-10).

【解析】试题分析:(1)由直线y=x+3x轴交于点C,与y轴交于点B求出点CB的坐标,代入y=ax2+x+c即可得得解;

2)如图1,过点Ey轴的平行线EF交直线BC于点MEFx轴于点F,设点E的坐标是(x x2+x+3),则点M的坐标是(xx+3),求出EM的长,利用面积即可得解;

3)存在.分别求出CBCM的值,进行分类讨论即可得解.

试题解析:(1∵直线y=﹣x+3x轴交于点C,与y轴交于点B

∴点B的坐标是(03),点C的坐标是(30

y=ax2+x+c经过BC两点,

解得

y=x2+x+3

2)如图1,过点Ey轴的平行线EF交直线BC于点MEFx轴于点F

∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点,

∴设点E的坐标是(x x2+x+3),

则点M的坐标是(x﹣x+3),

EM=x2+x+3x+3=x2+x

SBEC=SBEM+SMEC=

=×x2+x×3=x2+x=

x2+x=,解之得,x1=1x2=2

即点E的坐标是(13)或(22

此时对应的M的坐标是(12)或(21).

3)存在.

易得∠CBE=CEF=45 CB=CM=BE=1

①当时,CMN∽△CBE,

,得MN=

FN=N1

②当时,CMN∽△EBC,

,得MN=12

FN=-10N′1-10),

∴在EM上是否存在条件的点N,是N1 )或N′1-10).

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