Question

如图，△ABD、△CBD都是等边三角形，DE、BF分别是△ABD的两条高，DE、BF交于点G.

（1）求∠BGD的度数
（2）连接CG
①求证：BG+DG=CG
②求的值

Answer 1

（1）120⁰  （2）①见解析  ②

试题分析：（1）由△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°；（2）①
∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG；?结合前面求得结论，设出未知数，根据勾股定理和等腰三角形的性质即可求出比例性质.
试题解析：解：（1）因为 △ABD是等边三角形，E是AB中点
所以∠ADE=∠BDE=30⁰  所以∠CDG=90^{0 ,}
同理∠CBG=90^0,
∠BGD=120^{0 ,}
（2）①CD=CB，CG=CG，由勾股定理可得BG=DG，
易证△CBG与△CDG全等,
得∠DCG=∠BCG=30⁰ 
所以在Rt△CGB和Rt△CGD中可得BG="DG=1/2CG" .
所以BG+DG=CG（6分）
②设BG=x,由（2)得CG=2x,
在Rt△CGB中 ，BC²=CG²-BG²=4x²-x²=3x²，
又因AB=BC所以AB²=BC²=3x^2,
所以=.