Question

（2012•南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

分析：（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．
（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH²=

9

2

，也即得出了正方形EHGF的面积．

解答：证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
故可得：EF=

1

2

AC，同理FG=

1

2

BD，GH=

1

2

AC，HE=

1

2

BD，
在梯形ABCD中，AB=DC，
故AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
则EH∥BD，
同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴EH⊥HG，
∴四边形EFGH是正方形．

（2）连接EG．
在梯形ABCD中，
∵E、G分别是AB、DC的中点，
∴EG=

1

2

（AD+BC）=3．
在Rt△EHG中，
∵EH²+GH²=EG²，EH=GH，
∴EH²=

9

2

，即四边形EFGH的面积为

9

2

．

点评：此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的内角和定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．