Question

【题目】已知在△ABC中，∠A=45°，AB=7，，动点P、D分别在射线AB、AC上，且∠DPA=∠ACB，设AP=x，△PCD的面积为y．

（1）求△ABC的面积；

（2）如图，当动点P、D分别在边AB、AC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

（3）如果△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求线段AP的长．

Answer 1

【答案】(1)14;(2) y=(0＜x＜）；（3）AP的长为或16或32．

【解析】

试题（1）过C作CH⊥AB于H，在Rt△ACH、Rt△CHB中，分别用CH表示出AH、BH的长，进而由AB=AH+BH=7求出CH的长，即可得到AH、BH的长，由三角形的面积公式可求得△ABC的面积；
（2）由∠DPA=∠ACB，可证得△DPA∽△BCA，根据相似三角形得出的成比例线段可求得AD的表达式，进而可得到CD的长；过P作PE⊥AC于E，根据AP的长及∠A的度数即可求得PE的长；以CD为底、PE为高即可求得△PCD的面积，由此可得出y、x的函数关系；
求自变量取值的时，关键是确定AP的最大值，由于P、D分别在线段AB、AC上，AP最大时D、C重合，可根据相似三角形得到的比例线段求出此时AP的长，由此可得到x的取值范围；
（3）在（2）题中，已证得△ADP∽△ABC，根据相似三角形得到的比例线段，可得到PD的表达式；若△PDC是以PD为腰的等腰三角形，则可分两种情况：PD=DC或PD=PC；
①如果D在线段AC上，此时∠PDC是钝角，只有PD=DC这一种情况，联立两条线段的表达式，即可求得此时x的值；
②如果D在线段AC的延长线上，可根据上面提到的两种情况，分别列出关于x的等量关系式，即可求得x的值．

试题解析：

（1）作CH⊥AB，垂足为点H，设CH=m；

∵tanB= ，

∴BH=

∵∠A=45°，

∴AH=CH=m

∴；

∴m=4；

∴△ABC的面积等于；

（2）∵AH=CH=4，

∴

∵∠DPA=∠ACB，∠A=∠A，

∴△ADP∽△ABC；

∴即

∴CD= ；

作PE⊥AC，垂足为点E；

∵∠A=45°，AP=x，

∴PE=；

∴所求的函数解析式为y= ，即y= ；

当D到C时，AP最大．

∵△CPA∽△BCA

∴

∴AP=，

∴定义域为0＜x＜；

（3）由△ADP∽△ABC，得；

∴；

∵△PCD是以PD为腰的等腰三角形，

∴有PD=CD或PD=PC；

（i）当点D在边AC上时，

∵∠PDC是钝角，只有PD=CD

∴；

解得；

（ii）当点D在边AC的延长线上时，

如果PD=CD，那么

解得x=16

如果PD=PC，那么

解得x1=32，（不符合题意，舍去）

综上所述，AP的长为，或16，或32．