Question

如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P^/AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）∠APB的度数．

Answer 1

分析：（1）由已知△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，可得△PAC≌△P′AB，PA=P'A，旋转角∠P'AP=∠BAC=60°，∴△APP'为等边三角形，即可求得PP'；
（2）由△APP'为等边三角形，得∠APP'=60°，在△PP'B中，已知三边，用勾股定理逆定理证出直角三角形，得出∠P'PB=90°，可求∠APB的度数．

解答：解：（1）连接PP′，由题意可知BP′=PC=10，AP′=AP，
∠PAC=P′AB，而∠PAC+∠BAP=60°，
所以∠PAP′=60度．故△APP′为等边三角形，
所以PP′=AP=AP′=6；

（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′²+BP²=BP′²，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°
可求∠APB=90°+60°=150°．

点评：本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．