题目内容

(本题满分14分)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P, 连接EP.

⑴如图②,若M为AD边的中点,①△AEM的周长=____     _cm;②求证:EP=AE+DP;

 

⑵随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.

 

⑴①6………………………………………………………………………………2分

  ②证明:取EP中点G,连接MG,在梯形AEPD中

∵M、G分别为AD、EP的中点

……………………………………………………4分

由折叠,得∠EMP=∠B=90°

又G为EP的中点

∴MG=EP………………………………………………………………6分

∴EP=AE+DP ……………………………………………………………7分

⑵△PDM的周长保持不变 ……………………………………………………8分

证明:设AM=xcm,则DM=(4-x)cm …………………………………9分

Rt△EAM中,由

…………………………………………………10分

∵∠AME+∠AEM=90°

∠AME+∠PMD=90°

∴∠AEM=∠PMD……………………………………………………11分

又∵∠A=∠D=90°

∴△PDM∽△MAE……………………………………………………12分

………………………………………………………13分

……………………………………14分

∴△PDM的周长保持不变.

解析:略

 

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