题目内容
(本题满分14分)如图①,将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点 M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P, 连接EP.
⑴如图②,若M为AD边的中点,①△AEM的周长=____ _cm;②求证:EP=AE+DP;
⑵随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合),△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.
⑴①6………………………………………………………………………………2分
②证明:取EP中点G,连接MG,在梯形AEPD中
∵M、G分别为AD、EP的中点
∴……………………………………………………4分
由折叠,得∠EMP=∠B=90°
又G为EP的中点
∴MG=EP………………………………………………………………6分
∴EP=AE+DP ……………………………………………………………7分
⑵△PDM的周长保持不变 ……………………………………………………8分
证明:设AM=xcm,则DM=(4-x)cm …………………………………9分
Rt△EAM中,由
…………………………………………………10分
∵∠AME+∠AEM=90°
∠AME+∠PMD=90°
∴∠AEM=∠PMD……………………………………………………11分
又∵∠A=∠D=90°
∴△PDM∽△MAE……………………………………………………12分
∴………………………………………………………13分
即
∴……………………………………14分
∴△PDM的周长保持不变.
解析:略
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