Question

在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A₁BC₁．
（1）如图1，当点C₁在线段CA的延长线上时，求∠CC₁A₁的度数；
（2）如图2，连接AA₁，CC₁，若△CBC₁的面积为16，求△ABA₁的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P₁，直接写出线段EP₁长度的最大值与最小值．

Answer 1

(1)60°；（2）；（3）线段EP₁长度的最大值为8，EP₁长度的最小值1．

试题分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A₁C₁B=∠ACB=30°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC₁A₁的度数；
（2）由△ABC≌△A₁BC₁，易证得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ABA₁的面积；
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，即可求得线段EP₁长度的最大值与最小值．
（1）如图1，依题意得：△A₁C₁B≌△ACB．
∴BC₁=BC，∠A₁C₁B=∠C=30°．
∴∠BC₁C=∠C=30°．
∴∠CC₁A₁=60°；
（2）如图2，由（1）知：△A₁C₁B≌△ACB．
∴A₁B=AB，BC₁=BC，∠A₁BC₁=∠ABC．
∴∠ABA₁=∠CBC₁，

∴△A₁BA∽△C₁BC  
∴
∵S_△C1BC＝3，
∴S_△A1BA＝；
（3）线段EP₁长度的最大值为8，EP₁长度的最小值1．
解题过程如下：①如图a，过点B作BD⊥AC，D为垂足，

∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin30°=6×=3，
当P在AC上运动，BP与AC垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB上时，EP₁最小，最小值为：EP₁=BP₁-BE=BD-BE=3-2=1；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P₁在线段AB的延长线上时，EP₁最大，最大值为：EP₁=BC+BE=6+2=8．
综上所述，线段EP₁长度的最大值为8，EP₁长度的最小值1．