题目内容
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别是高和角平分线，已知△BEC的面积是15，△CDE的面积为3，则△ABC的面积为（ ）分析：首先过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，根据角平分线的性质，即可得EM=EN，然后设S△ACD=x，根据三角形的面积求解方法，可得
=
=
=
，又由△ACD∽△CBD，可得
=
=（
）2，即可得方程：
=（
）2，解此方程即可求得答案．
| S△ACE |
| S△BCE |
| AC |
| BC |
| AE |
| BE |
| x+3 |
| 15 |
| S△ACD |
| S△BCD |
| AC2 |
| BC2 |
| x+3 |
| 15 |
| x |
| 18 |
| x+3 |
| 15 |
解答：
解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，
∵CE是△ABC的角平分线，
∴EM=EN，
设S△ACD=x，
∵S△ACE=
AC•EN=
AE•CD，S△BCE=
BC•EM=
BE•CD，
∴
=
=
=
，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴
=
=（
）2，
∵
=
，
∴
=（
）2，
解得：x=2或4.5，
∴S△ABC=2+18=20或S△ABC=18+4.5=22.5．
故选A．
解：过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，∵CE是△ABC的角平分线，
∴EM=EN，
设S△ACD=x，
∵S△ACE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| S△ACE |
| S△BCE |
| AC |
| BC |
| AE |
| BE |
| x+3 |
| 15 |
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴
| S△ACD |
| S△BCD |
| AC2 |
| BC2 |
| x+3 |
| 15 |
∵
| S△ACD |
| S△BCD |
| x |
| 18 |
∴
| x |
| 18 |
| x+3 |
| 15 |
解得：x=2或4.5，
∴S△ABC=2+18=20或S△ABC=18+4.5=22.5．
故选A．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质，角平分线的性质以及三角形面积的求解方法．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
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