Question

（2000•宁波）如图，过⊙O外一点A向⊙O引割线AEB，ADC，DF∥BC，交AB于F．若CE过圆心O，D是AC中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若FE，FB的长是方程x²-mx+b²=0（b＞0）的两个根，且△DEF与△CBE相似．
①试用m的代数式表示b；
②代数式的值达到最小时，求BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）要证DF是⊙O的切线，只需证明FD⊥OD即可．
（2）根据相似三角形的性质及根与系数的关系，即可得到所求的代数式；
（3）将b=m代入代数式可得：m²-12m+7，当它有最小值时，m=-=．因为△CEB与△CBD全等，可推出EC=2EB，利用勾股定理可得CB的式子，再分别将m的值代入即可求得CB的值．
解答：（1）证明：∵CE过圆心O，
∴CB⊥AB；
∵FD∥BC，
∴FD⊥AB；
∵CE过圆心O，D是AC的中点，
∴OD∥AB；
∴FD⊥OD；
∴DF是圆O的切线．

（2）解：∵△DEF∽△CBE，
∴；
∵=，BE=BF-EF，
∴=，
∴BF=3EF；
∵FE+FB=m，FE•FB=b²，
∴EF=，BF=；
∴•=b²；
∴b=m（b＞0）．

（3）解：将b=m代入代数式得：m²-6m+7，
当它有最小值时，m==；
∵△CEB≌△CBD，
∴CB=CD；
∵CD=AC，
∴CB=AC，
∴∠A=30°，
∴∠ECB=∠A=30°，
∴EC=2EB；
∴CB=；
∴CB=BE=m；
∵m=，
∴BC=2．
点评：此题考查了圆的切线的判定、相似三角形的性质、全等三角形的性质及勾股定理等知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．