题目内容
在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边长是2| 3 |
（1）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，如果点A恰好落在点C（0，0），求b的值；
（2）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，点C的横坐标为m，求b与m之间的函数关系式；并写出当b=
| 1 |
| 2 |
（3）当△OAB沿直线y=kx+b折叠时，如果我们把折痕所在直线与△OAB的位置分为如图1、图2、图3三种情形，请你分别写出每种情形时b的取值范围（将答案直接填写在每种情形下的横线上）．
分析：（1）根据等边三角形的性质，知如果点A恰好落在点C（0，0），则直线过点B．设直线和y轴的交点是M，则根据30°的直角三角形的性质即可求得b的值．
（2）此题稍微复杂，若A点关于直线y=kx+b的对称点C在x轴上，那么AC的中点在直线y=kx+b上，且直线AC的斜率为-
（即AC与直线y=kx+b垂直），可根据这两个条件得到b、m的关系式，进而代值求出C点坐标．
（3）此题要结合（2）的结论来求解，从两方面考虑：
①由（2）可得到关于m的二次方程，若C点在x轴上，那么关于m的方程的根的判别式必大于等于0；
②根据图中直线的位置，大致判断出m的最大或最小值，然后再代入（2）的解析式中进行求解．
（2）此题稍微复杂，若A点关于直线y=kx+b的对称点C在x轴上，那么AC的中点在直线y=kx+b上，且直线AC的斜率为-
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| k |
（3）此题要结合（2）的结论来求解，从两方面考虑：
①由（2）可得到关于m的二次方程，若C点在x轴上，那么关于m的方程的根的判别式必大于等于0；
②根据图中直线的位置，大致判断出m的最大或最小值，然后再代入（2）的解析式中进行求解．
解答：解：（1）根据等边三角形的三线合一的性质，则此时直线过点B．
设直线和y轴的交点是M．
在Rt△CBM中，∠CBM=30°，OB=2
，
则OM=2，即b=2．
（2）易知：A（
，3），已知C（m，0），则AC的中点为（
，
）；
依题意有：
；
消去k，得：m2+6b-12=0，即b=2-
m2．
当b=
时，2-
m2=
，解得m=±3；
故：C1（3，0），C2（-3，0）．（5分）
（3）图①：0≤b≤2，图②：0≤b≤2，图③：-6≤b≤0；
理由：由（2）知：12-6b=m2，m2+6b-12=0；
若C点在x轴上，则方程m2+6b-12=0必有实数解，即：
△=-4（6b-12）≥0，解得b≤2；
图①中，显然b≥0，那么b的取值范围是：0≤b≤2；
图②中，显然b≥0，同图①可得：0≤b≤2；
图③中，显然b≤0，由于m的值最大可取4
，那么：
12-6b2≤（4
）2，即b≥-6，
因此-6≤b≤0．
设直线和y轴的交点是M．
在Rt△CBM中，∠CBM=30°，OB=2
| 3 |
则OM=2，即b=2．
（2）易知：A（
| 3 |
m+
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
依题意有：
|
消去k，得：m2+6b-12=0，即b=2-
| 1 |
| 6 |
当b=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
故：C1（3，0），C2（-3，0）．（5分）
（3）图①：0≤b≤2，图②：0≤b≤2，图③：-6≤b≤0；
理由：由（2）知：12-6b=m2，m2+6b-12=0；
若C点在x轴上，则方程m2+6b-12=0必有实数解，即：
△=-4（6b-12）≥0，解得b≤2；
图①中，显然b≥0，那么b的取值范围是：0≤b≤2；
图②中，显然b≥0，同图①可得：0≤b≤2；
图③中，显然b≤0，由于m的值最大可取4
| 3 |
12-6b2≤（4
| 3 |
因此-6≤b≤0．
点评：此题是一次函数的综合题目，涉及到图形的翻折变换，以及函数与不等式的综合应用等知识，难度较大．
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