Question

如图已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=6，CD=10，P是线段AB上的一个动点，设PB=x，△PCD的面积为y，
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
（2）求当x为何值时，△APD∽△BPC．
（3）求当x为何值时，PC平分∠BCD．

Answer 1

分析：（1）过D作DE⊥BC于E，利用直角梯形的性质和勾股数易得到EC=6，而y=S_梯形ABCD-S_△PAD-S_△PBC，然后利用梯形和三角形的面积公式计算即可y与x之间的函数关系式；
（2）根据三角形相似的判定定理得到当AP：BP=AD：BC时，Rt△APD∽Rt△BPC，即（8-x）：x=6：12，即可求出x的值；
（3）过P作PH⊥DC于H，根据角平分线的判定定理得到当PH=PB时，PC平分∠BCD，则PH=x，得到△PCD的面积为y=

1

2

PH•DC=

1

2

•x•10=5x，然后和（1）中的结论建立方程关于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）过D作DE⊥BC于E，如图，
∵AD∥BC，∠A=90°，AB=8，AD=6，
∴BE=AD=6，DE=AB=8，
在Rt△DEC中，DC=10，
∴EC=6，
∴BC=6+6=12，
而PB=x，则PA=8-x，
∴y=S_梯形ABCD-S_△PAD-S_△PBC=

1

2

•（6+12）•8-

1

2

•6•（8-x）-

1

2

•x•12=-3x+48（0≤x≤8）；

（2）当AP：BP=AD：BC时，Rt△APD∽Rt△BPC，
∴（8-x）：x=6：12，
解得x=

16

3

．
∴当x为

16

3

时，△APD∽△BPC；

（3）过P作PH⊥DC于H，如图，
当PH=PB时，PC平分∠BCD，
∴PH=x，
∴y=

1

2

PH•DC=

1

2

•x•10=5x，
而y=-3x+48（0≤x≤8），
∴5x=-3x+48，
解得x=6．
∴当x为6时，PC平分∠BCD．

点评：本题考查了三角形相似的判定定理：有两组对应边的比相等，且它们的夹角也对应相等，则这两个三角形相似．也考查了直角梯形的性质、角平分线的判定以及梯形与三角形的面积公式．