Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，且60°＜α＜120°，P为△ABC内部一点，且PC=AC，∠PCA=120°-α．
①用含α的代数式表示∠APC；
②求证：∠BAP=∠PCB；
③求∠PBC的度数．

Answer 1

分析：①在三角形APC中，因为PC=AC，推出∠CPA=∠CAP，因为∠CAP+∠CPA+∠ACP=180°，推出∠CPA=∠CAP=（180°-∠ACP）÷2=（60°+α）÷2=30°+

α

2

，
②由①所推出的结论，可知∠BAP=∠BAC-∠CAP=α-（30°+

α

2

）=

α

2

-30°，在三角形ABC中，∠BCA=∠ABC=（180-a）÷2=90°-

α

2

，∠PCB=∠BCA-∠ACP=90-

α

2

-（120°-α）=

α

2

-30°，所以∠BAP=∠PC，
③分别延长CP、AP交BC于F 点，交AB于E点，由∠BAP=∠PCB，可得A，E，F，C四点共圆，得∠EFB=α，所以可得BF=EF，EF=PF，即BF=PF，又由∠AFC=∠ABC+∠BAF=90°-

α

2

+

α

2

-30°=60°，即得∠PBC=∠BPF=30°．

解答：①解：∵AB=AC，∠BAC=α，PC=AC，
∴∠CPA=∠CAP，∠BCA=∠ABC，
∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180°，
∴∠CPA=∠CAP=（180°-∠ACP）÷2=（60°+α）÷2=30°+

α

2

，

②证明：∵∠BAP=∠BAC-∠CAP，∠BAC=α，∠CAP=30°+

α

2

，
∴∠BAP=∠BAC-∠CAP=α-（30°+

α

2

）=

α

2

-30°，
∴∠BCA=∠ABC=（180-a）÷2=90°-

α

2

，
∴∠PCB=∠BCA-∠ACP=90-

α

2

-（120°-α）=

α

2

-30°，
∴∠BAP=∠PCB，
③解：分别延长CP、AP交AB于E点，交BC于F点，
∵∠BAP=∠PCB，
∴∠PFB=∠PEB，
∴A，E，F，C四点共圆，
∴∠EFB=∠BAC=α，∠EFA=∠ECA，∠FEC=∠CAF，
∴BF=EF，EF=PF，
∴BF=PF
∴∠AFC=∠ABC+∠BAF=90°-

α

2

+

α

2

-30°=60°，
∴∠PBC=∠BPF=30°．

点评：本题主要考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，关键在于熟练运用相关的性质定理，熟练角之间的数量转换，正确作出辅助线．