题目内容
【题目】如图所示,已知在△ABC中,∠B=90°,AB=5 cm,BC=7 cm,点Q从点A开始沿AB边以1 cm/s的速度向点B移动,点P从点B开始沿BC边以2 cm/s的速度向点C移动,如果点Q,P分别从A,B两点同时出发,当一动点运动到终点,另一动点也随之停止运动.
(1)几秒后,△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)几秒后,PQ的长度等于2 cm?
(3)在(1)中,△PBQ的面积能否等于7 cm2?试说明理由.
【答案】(1)1 s;(2)3 s;(3)△PBQ的面积不可能等于7 cm2.
【解析】
(1)设点P、Q的运动时间为x秒,则由题意可得:BQ=AB-AQ=5-x,BP=2x,根据三角形面积公式结合题中已知条件列出方程,解方程即可求得对应的运动时间;
(2)在Rt△PBQ中,由勾股定理可得BQ2+PB2=PQ2结合已知条件列出方程,解方程即可求得点P、Q对应的运动时间;
(3)同(1)列出关于点P、Q的运动时间x的方程,再根据根的判别式判断所列方程有无实数根即可得出结论.
(1)设x s后,△PBQ的面积等于4 cm2.
此时,AQ=x cm,QB=(5-x)cm,BP=2x cm.
由BP·QB=4,得×2x(5-x)=4,
即x2-5x+4=0,
解得x1=1,x2=4(不合题意,舍去).
所以1 s后,△PBQ的面积等于4 cm2.
(2)在Rt△PBQ中,因为PQ=2 cm,根据勾股定理,得(5-x)2+(2x)2=(2)2,
解得x1=3,x2=-1(舍去).
所以3 s后,PQ的长度等于2 cm.
(3)由(1),得×2x(5-x)=7.
整理,得x2-5x+7=0.
因为b2-4ac=25-28<0,
所以此方程无解.
所以△PBQ的面积不可能等于7 cm2.
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