题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点分别在轴,轴的正半轴上,且.若抛物线经过两点,且顶点在边上,对称轴交于点,点的坐标分别为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)猜想的形状并加以证明;
(3)点在对称轴右侧的抛物线上,点在轴上,请问是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+3x;(2)△EDB为等腰直角三角形,证明见解析;(3)存在.点M坐标为(,2)或(,﹣2).
【解析】
试题分析:(1)由条件可求得抛物线的顶点坐标及A点坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由B、D、E的坐标可分别求得DE、BD和BE的长,再利用勾股定理的逆定理可进行判断;
(3)由B、E的坐标可先求得直线BE的解析式,则可求得F点的坐标,当AF为边时,则有FM∥AN且FM=AN,则可求得M点的纵坐标,代入抛物线解析式可求得M点坐标;当AF为对角线时,由A、F的坐标可求得平行四边形的对称中心,可设出M点坐标,则可表示出N点坐标,再由N点在x轴上可得到关于M点坐标的方程,可求得M点坐标.
试题解析: (1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,∴A(4,0),C(0,3),
∵抛物线经过O、A两点,∴抛物线顶点坐标为(2,3),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,
把A点坐标代入可得0=a(4﹣2)2+3,解得a=﹣,
∴抛物线解析式为y=﹣(x﹣2)2+3,即y=﹣x2+3x;
(2)△EDB为等腰直角三角形.
证明如下:由(1)可知B(4,3),且D(3,0),E(0,1),
∴DE2=32+12=10,BD2=(4﹣3)2+32=10,BE2=42+(3﹣1)2=20,
∴DE2+BD2=BE2,且DE=BD,
∴△EDB为等腰直角三角形;
(3)存在.理由如下:
设直线BE解析式为y=kx+b,
把B、E坐标代入可得,解得,
∴直线BE解析式为y=x+1,当x=2时,y=2,∴F(2,2),
①当AF为平行四边形的一边时,则M到x轴的距离与F到x轴的距离相等,即M到x轴的距离为2,
∴点M的纵坐标为2或﹣2,
在y=﹣x2+3x中,令y=2可得2=﹣x2+3x,解得x=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∴x=,
∴M点坐标为(,2);
在y=﹣x2+3x中,令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x,解得x=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∴x=,
∴M点坐标为(,﹣2);
②当AF为平行四边形的对角线时,
∵A(4,0),F(2,2),
∴线段AF的中点为(3,1),即平行四边形的对称中心为(3,1),
设M(t,﹣ t2+3t),N(x,0),
则﹣t2+3t=2,解得t=,
∵点M在抛物线对称轴右侧,
∴x>2,
∴t=,
∴M点坐标为(,2);
综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(,2)或(,﹣2).