Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4），以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C，动点P从点A出发，以每秒 个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．

（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：（1）A（1，4），

由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4

∵抛物线过点C（3，0），

∴0=a（3﹣1）2+4，

解得a=﹣1．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：如图1，

∵A（1，4），C（3，0），

∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

∵点P（1+ ，4）．

∴将x=1+ 代入y=﹣2x+6中，解得点N的纵坐标为y=4﹣t，

∴把x=1+ ，代入抛物线的解析式中，可求点M的纵坐标为4﹣ ，

∴MN=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ，

又点A到MN的距离为 ，C到MN的距离为2﹣ ，

即S△ACM=S△AMN+S△CMN= ×MN× + ×MN×（2﹣ ）

= ×2（t﹣ ）=﹣ （t﹣2）2+1．

当t=2时，S△ACM的最大值为1．

（3）

解：由题意和（2）知，（3，0），Q（3，t），N（ ，4﹣t），AB=4，

AG=4﹣（4﹣t）=t，BG=4﹣t，可求AC= ，

当H在AC上方时，如图2，过点N作NG⊥AB，

由四边形CQNH是菱形，可知：CQ=CN=t，

此时，AN= ﹣t，NG∥BC，

∴ ，

，

解得：t=20﹣ ，

当点H在AC下方时，如图3，

由四边形CQNH是菱形，可知：CH=HN=CQ=t，

∴HE=4﹣t﹣t=4﹣2t，EC=2﹣ ，

在直角三角形CHE中，CE2+HE2=CH2，

∴ ，

解得t= 或t=4（舍去），

所以，以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形时，t= 或t=20﹣8 ．

【解析】（1）根据矩形的性质可以写出点A的坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值；（2）利用待定系数法求得直线AC；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标，进一步表示点M，N的坐标，得出面积关于t的二次函数，由二次函数的最值可以求解；（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上，分CH是边和对角线两种情况讨论即可．
【考点精析】掌握平行四边形的性质和矩形的性质是解答本题的根本，需要知道平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．