题目内容
(2009•门头沟区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D,且点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,3).(1)求抛物线及直线AC的解析式;
(2)E、F是线段AC上的两点,且∠AEO=∠ABC,过点F作与y轴平行的直线交抛物线于点M,交x轴于点N.当MF=DE时,在x轴上是否存在点P,使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点,试比较锐角∠QCO与∠BCO的大小(直接写出结果,不要求写出求解过程,但要写出此时点Q的横坐标x的取值范围).
【答案】分析:(1)利用待定系数法,把已知坐标代入求出抛物线的解析式.设直线AC的解析式为y=kx+n,爸已知坐标代入求出直线AC的解析式.
(2)首先证明△AEO∽△ABC,利用线段比求出AE的长.然后作EH⊥y轴于H,易得E点坐标.设F点的坐标为(x,x+3),M点的坐标为(x,-x2-2 x+3),求出点P的坐标,然后根据MP∥FA所推出的线段比求出PN的值从而求出P点坐标.
(3)份额根据x的取值范围不同求解.
解答:解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过B(1,0)、C(0,3)两点
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/0.png)
解得![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/1.png)
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3
由y=-x2-2x+3可得A点坐标为(-3,0)
设直线AC的解析式为y=kx+n,
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/2.png)
解得![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/3.png)
∴直线AC的解析式为y=x+3.
(2)∵OA=OC=3,OB=1
∴△AOC是等腰直角三角形,AC=
,AB=4
∴∠ECO=45°
∵∠AEO=∠ABC,∠EAO=∠BAC
∴△AEO∽△ABC
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/5.png)
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/6.png)
∴AE=
.
∴CE=AC-AE=
-
=![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/10.png)
过点E作EH⊥y轴于H
可得EH=CH=1,OH=2
∴E点的坐标为(-1,2)
∵抛物线y=-x2-2x+3顶点D的坐标为(-1,4)
∴ED=2
∴MF=ED=2
∵F在线段AC上,M在抛物线y=-x2-2x+3上
∴设F点的坐标为(x,x+3),M点的坐标为(x,-x2-2 x+3)
∴-x2-2 x+3-(x+3)=2
解得x1=-2,x2=-1(不合题意,舍去)
∴F点的坐标为(-2,1)
∴FN=NA=1
在x轴上存在点P,使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形
当FP∥MA时,可得![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/11.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/images12.png)
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/12.png)
∴![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/13.png)
∴P点的坐标为(-
,0)
当MP∥FA时,可得![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/15.png)
∴PN=3
∴P点的坐标为(-5,0)
∴在x轴上存在点P使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形
点P的坐标为(-
,0)或(-5,0).
(3)当x<-5时,锐角∠QCO<∠BCO
当x=-5时,锐角∠QCO=∠BCO
当-5<x<-1时,锐角∠QCO>∠BCO.
点评:本题考查的是二次函数的有关知识以及相似三角形的判定定理,难度较大.
(2)首先证明△AEO∽△ABC,利用线段比求出AE的长.然后作EH⊥y轴于H,易得E点坐标.设F点的坐标为(x,x+3),M点的坐标为(x,-x2-2 x+3),求出点P的坐标,然后根据MP∥FA所推出的线段比求出PN的值从而求出P点坐标.
(3)份额根据x的取值范围不同求解.
解答:解:(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过B(1,0)、C(0,3)两点
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/0.png)
解得
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/1.png)
∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3
由y=-x2-2x+3可得A点坐标为(-3,0)
设直线AC的解析式为y=kx+n,
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/2.png)
解得
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/3.png)
∴直线AC的解析式为y=x+3.
(2)∵OA=OC=3,OB=1
∴△AOC是等腰直角三角形,AC=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/4.png)
∴∠ECO=45°
∵∠AEO=∠ABC,∠EAO=∠BAC
∴△AEO∽△ABC
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/5.png)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/6.png)
∴AE=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/7.png)
∴CE=AC-AE=
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/8.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/9.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/10.png)
过点E作EH⊥y轴于H
可得EH=CH=1,OH=2
∴E点的坐标为(-1,2)
∵抛物线y=-x2-2x+3顶点D的坐标为(-1,4)
∴ED=2
∴MF=ED=2
∵F在线段AC上,M在抛物线y=-x2-2x+3上
∴设F点的坐标为(x,x+3),M点的坐标为(x,-x2-2 x+3)
∴-x2-2 x+3-(x+3)=2
解得x1=-2,x2=-1(不合题意,舍去)
∴F点的坐标为(-2,1)
∴FN=NA=1
在x轴上存在点P,使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形
当FP∥MA时,可得
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/11.png)
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/images12.png)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/12.png)
∴
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/13.png)
∴P点的坐标为(-
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/14.png)
当MP∥FA时,可得
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/15.png)
∴PN=3
∴P点的坐标为(-5,0)
∴在x轴上存在点P使得以点P、A、F、M为顶点的四边形是梯形
点P的坐标为(-
![](http://thumb.1010pic.com/pic6/res/czsx/web/STSource/20131021230751154375315/SYS201310212307511543753004_DA/16.png)
(3)当x<-5时,锐角∠QCO<∠BCO
当x=-5时,锐角∠QCO=∠BCO
当-5<x<-1时,锐角∠QCO>∠BCO.
点评:本题考查的是二次函数的有关知识以及相似三角形的判定定理,难度较大.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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