题目内容

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2．将点A折叠到CD边上，记折叠后A点对应的点为P（P与D点不重合），折痕EF只与边AD、BC相交，交点分别为E、F．过P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，连接PA、PE、AM，EF与PA相交于O．
（1）指出四边形PEAM的形状（不需证明）；
（2）记∠EPM=a，△AOM、△AMN的面积分别为S₁、S₂．
①求证： $数学公式$ ；
②设AN=x，y= $数学公式$ ，试求出以x为自变量的函数y的解析式，并确定y的取值范围．

解：（1）答案为：菱形；

（2）①证明：
∵四边形AMPE为菱形，
∴∠MAP= $\text{[math]}$ α，S₁= $\text{[math]}$ OA•OM，OA= $\text{[math]}$ PA，
∵在Rt△AOM中，tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OM=OA•tan $\text{[math]}$ ；
∴S₁= $\text{[math]}$ OA•OM= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ PA× $\text{[math]}$ PA•tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ PA²•tan $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；

②过点D作DH⊥BC于H，交PN于K．
则：DK⊥PN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x，
∵CH=BC-BH=2-1=1，
∴CH=DH，
∴PK=DK=x，
∴PN=1+x，
在Rt△ANP中，
AP²=AN²+PN²=x²+（1+x）²=2x²+2x+1．
过E作EG⊥PM于G，令△EGM的面积为S，
∵△EGM∽△AOM，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则S= $\text{[math]}$ S₁，
∵△AOE由△POE折叠而成，
∴AE=PE，AP⊥EM，
∵四边形AMPE是菱形，
∴AN=DK=x，

如图，当E与D重合时，
∵PN=1+x，AN=x，AM=AD=PM=PD=1，
∴MN=PN-PM=1+x-1=x，
∴AN=MN，
在Rt△AMN中，AN²+MN²=AM²，
∴x²+x²=1²，
∴x= $\text{[math]}$ ，
∴0＜x＜ $\text{[math]}$ ，
∵四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积，

∴4S₁=2S₁+S₂+S，即2S₁=S₂+S，
∴S₁-S₂=S-S₁= $\text{[math]}$ S₁-S₁=（ $\text{[math]}$ -1）S₁，
∴y= $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ -1）× $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ -1）× $\text{[math]}$ AP²= $\text{[math]}$ （4x²-AP²），
∴y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ （- $\text{[math]}$ ≤y＜- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据题意，结合菱形的判定定理即可推出四边形AMPE为菱形，
（2）①四边形AMPE为菱形，即可得：∠MAP= $\text{[math]}$ α，S₁= $\text{[math]}$ OA•OM，OA= $\text{[math]}$ PA，又由在Rt△AOM中，tan $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求得OM=OA•tan $\text{[math]}$ ；则可得 $\text{[math]}$ ；
②首先过点D作DH⊥BC于H，则DK⊥PN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x，求得PN=1+x，在Rt△ANP中，由AP²=AN²+PN²，可求得AP²的值，然后过E作PM⊥EG于G，令△EGM的面积为S，由△EGM∽△AOM，即可得S= $\text{[math]}$ S₁，则问题得解．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质，三角函数的性质以及二次函数的知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．