Question

23、如图，在△ABC中，D为BC边的中点，过D点分别作DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F．
（1）证明：△BDF≌△DCE；
（2）如果给△ABC添加一个条件，使四边形AFDE成为菱形，则该条是

AB=AC

；如果给△ABC添加一个条件，使四边形AFDE成为矩形，则该条件是

∠A=90°

．
（均不再增添辅助线）请选择一个结论进行证明．

Answer 1

分析：（1）要证△BDF≌△DCE，由平行线的性质可证∠EDC=∠FBD，∠FDB=∠ECD，又BD=DC，符合ASA，即可证明；
（2）要使四边形AFDE为菱形，而四边形AFDE为平行四边形，根据定义只需证一组邻边相等即可，故可添加条件为AB=AC或BC=AC或BA=BC；要使四边形AFDE为矩形，而四边形AFDE为平行四边形，根据定义只需证一内角为90°，故可添加条件为∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°

解答：证明：（1）∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠FBD．（1分）
∵DF∥AC，
∴∠FDB=∠ECD．（2分）
又∵BD=DC，
∴△BDF≌△DCE．（3分）

解：（2）AB=AC或BC=AC或BA=BC；∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°，
（填写其中一个即可，每空（1分），共（2分）
①证明：∵DE∥AB    DF∥AC，
∴四边形AFDE为平行四边形．（6分）
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠EDC=∠C，
∴ED=EC．
由△BDF≌△DCE可得：FD=EC．
∴ED=FD，
∴四边形AFDE为菱形．（7分）

②证明：同理可证四边形AFDE为平行四边形．（6分）
∵∠A=90，
∴四边形AFDE为矩形．（7分）

点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．