题目内容

【题目】如图,在正方形ABCD中,点E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在正方形ABCD的内部,延长AF交CD于点G.

(1)猜想并证明线段GF与GC的数量关系;
(2)若将图1中的正方形改成矩形,其它条件不变,如图2,那么线段GF与GC之间的数量关系是否改变?请证明你的结论;
(3)若将图1中的正方形改成平行四边形,其它条件不变,如图3,那么线段GF与GC之间的数量关系是否会改变?请证明你的结论.

【答案】
(1)

解:FG=CG,理由如下:

∵E是BC的中点

∴BE=CE

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE

∴BE=EF,

∴EF=EC;

同样,在折叠中,∠B=∠EFA=90°

又∵∠C=∠B,∠EFG=∠EFA

∴∠C=∠EFG=90°

∵EG=EG,

∴△ECG≌△EFG

∴FG=CG


(2)

解:不会改变.

证明:连接EG

∵E是BC的中点

∴BE=CE

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE

∴BE=EF,

∴EF=EC;

同样,在折叠中,∠B=∠EFA=90°

又∵∠C=∠B,∠EFG=∠EFA

∴∠C=∠EFG=90°

∵EG=EG,

∴△ECG≌△EFG

∴FG=CG;


(3)

解:不会改变.

证明:连接EG、FC

∵E是BC的中点

∴BE=CE

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE

∴BE=EF,∠B=∠AFE

∴EF=EC

∴∠EFC=∠ECF

∵矩形ABCD改为平行四边形

∴∠B=∠D

∵∠ECD=180°﹣∠D,∠EFG=180°﹣∠AFE=180°﹣∠B=180°﹣∠D

∴∠ECD=∠EFG

∴∠GFC=∠GFE﹣∠EFC=∠ECG﹣∠ECF=∠GCF

∴∠GFC=∠GCF

∴△ECG≌△EFG

∴FG=CG

即(1)中的结论仍然成立


【解析】(1)判定直角三角形△ECG和△EFG全等,和全等三角形对应边相等的性质;(2)判定直角三角形△ECG和△EFG全等,和全等三角形对应边相等的性质;(3)判定△ECG和△EFG全等,根据全等三角形对应边相等性质即可证明.

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