Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，若周长为2

7

+4，斜边上中线为2．
（1）求这个直角三角形的面积；
（2）求这个直角三角形内切园的面积；
（3）若这个直角三角形两个锐角的正切tgA和tgB是一个一元二次方程的两个根，求这个一元二次方程？

Answer 1

分析：（1）首先根据直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半，可得到c=4，再根据已知条件得到关于a，b的方程组，可解出ab=6，进而可得到直角三角形的面积．
（2）由（1）可解得a+b=2

7

，则内切圆半径=

a+b-c

2

，求出半径后再用圆的面积公式S=πr²，求出直角三角形内切圆的面积；
（3）根据条件直角三角形两个锐角的正切tgA和tgB是一个一元二次方程的两个根，求出tgA•tgB与tgA+tgB，再根据根与系数的关系写出方程即可．

解答：解：（1）设三边为a，b，c，
∵斜边上中线为2，
∴c=4
且

a+b=2 7 a2+b2=16

?

a+b=2 7 (a+b)2-2ab=16

?

a+b=2 7 ab=6

，
∴S_△ABC=3，

（2）设内切圆半径为r，则r=

a+b-c

2

=

7

-2，
∴S内切圆=π(

7

-2)2，

（3）tgA•tgB=1，tgA+tgB=

a

b

+

b

a

=

a2+b2

ab

=

16

6

=

8

3

，
∴一元二次方程为x2-

8

3

x+1=0，
即3x²-8x+3=0．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质，根与系数的关系，三角形的内切圆与圆心，以及三角函数的应用，准确把握每个知识点是解题的关键，很多同学由于基础知识掌握不好导致错误的出现．