题目内容
【题目】如图,抛物线经过点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)以点A为圆心,作与直线BC相切的⊙A,请判断⊙A与y轴有怎样的位置关系,并说明理由;
(3)在直线BC上方的抛物线上任取一点P,连接PB、PC,请问:△PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出这个值和此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)相交;(3)S△PBC有最大值
,此时P点坐标为(
,
).
【解析】
试题分析:(1)把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b,可求得抛物线解析式;
(2)过A作AD⊥BC于点D,则AD为⊙A的半径,由条件可证明△ABD∽△CBO,利用相似三角形的性质可求得AD的长,可求得半径,进而得出答案;
(3)由待定系数法可求得直线BC解析式,过P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,交x轴于点E,可设出P、Q的坐标,可表示出△PQC和△PQB的面积,可表示出△PBC的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值,容易求得P点坐标.
试题解析:(1)∵抛物线经过点A(1,0)和点B(5,0),∴把A、B两点坐标代入可得
,解得:
,∴抛物线解析式为
;
(2)相交,理由:过A作AD⊥BC于点D,如图1,∵⊙A与BC相切,∴AD为⊙A的半径,由(1)可知C(0,﹣),且A(1,0),B(5,0),∴OB=5,AB=OB﹣OA=4,OC=
,在Rt△OBC中,由勾股定理可得BC=
=
=
,∵∠ADB=∠BOC=90°,∠ABD=∠CBO,∴△ABD∽△CBO,∴
,即
,解得AD=
,即⊙A的半径为
,∵
>1,∴⊙A与y轴相交;
(3)∵C(0,﹣),∴可设直线BC解析式为y=kx﹣
,把B点坐标代入可求得k=
,∴直线BC的解析式为
,过P作PQ∥y轴,交直线BC于点Q,交x轴于点E,如图2,设P(x,
),则Q(x,
),∴PQ=(
)﹣(
)=
=
,∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=
PQOE+
PQBE=
PQ(OE+BE)=
PQOB=
PQ=
,∴当x=
时,S△PBC有最大值
,此时P点坐标为(
,
),∴当P点坐标为(
,
)时,△PBC的面积有最大值.

【题目】已知A、B在数轴上分别表示a、b.
(1)对照数轴填写下表:
a | 6 | ﹣6 | ﹣6 | 2 | ﹣1.5 |
b | 4 | 0 | ﹣4 | ﹣10 | ﹣1.5 |
A、B两点的距离 | 2 | 0 |
(2)若A、B两点间的距离记为d,试问d和a、b(a<b)有何数量关系;
(3)写出数轴上到﹣1和1的距离之和为2的所有整数;
(4)若点C表示的数为x,代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时,相应的x的取值范围是 ,此时代数式|x+1|+|x﹣2|的最小值是 .