题目内容
【题目】在正方形 ABCD 中，点 P 在射线 AB 上，连结 PC，PD，M，N 分别为 AB，PC 中点，连结 MN 交 PD 于点 Q．
（1）如图 1，当点 P 与点 B 重合时，求∠QMB 的度数；
（2）当点 P 在线段 AB 的延长线上时.
①依题意补全图2
②小聪通过观察、实验、提出猜想：在点P运动过程中，始终有QP=QM.小聪把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1延长BA到点 E，使AE=PB .要证QP=QM，只需证△PDA≌△ECB.
想法2：取PD 中点E ，连结NE,EA. 要证QP=QM只需证四边形NEAM 是平行四边形.
想 法3：过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E ，要证QP=QM ，只要证明△NEM∽△DAP.
……
请你参考上面的想法，帮助小聪证明QP=QM. (一种方法即可)
【答案】（1）∠QMB 的度数为45°；
（2）①补全图2见解析；②证明见解析.
【解析】试题分析：（1）连接AC，由MN分别是AB、BC的中点可得，MN是
的中位线，即可得到∠QMB 的度数为45°；（2）①根据题意画出图形；②根据每种方法提示解题即可；
试题解析：
(1) 连结AC,如图所示：
∵四边形ABCD是正方形
∴∠D AB=90°
∴∠C AB=45°
点 M,N 是 AB,BC 中点
∴MN∥AC
∴∠NMB=∠C AB=45°
∴∠QMB=∠C AB=45°
(2)① 如图所示：
②想法1：延长BA 到点E，使AE=PB
∴BE=AP
∵正方形ABCD
∴∠PAD=∠EBC=90° AD=BC
∴△PDA≌△ECB
∠DPA=∠E
又点M 是AB 中点,AM=MB, 又AE=BP
∴AM+EA=MB+BP
∴EM=MP
∴M是EP中点
∴MN是△EPC的中位线
∴MN∥EC
∴∠E=∠NMP
∴∠NMP=∠DPA即∠QMP=∠QPM
∴QM=QP
想法2：取PD 中点E，连结NE,EA
∵E,N分别是PD,PC
∴EN∥CD,EN=
CD
又CD∥AB,CD=AB
∴EN∥AB且EN=
AB
∴EN=AM
∴四边形是NEAM是平行四边形
∴EA∥MN
∴∠EAB=∠NMB
又点E 是Rt△DAP 斜边DP中点
∴AE=EP
∴∠EAB=∠EPA
∴∠NMB=∠EPA
∴QM=QP
想法3:过N 作 NE∥CB 交PB 于点 E ，
∵CB⊥AB,
∴NE⊥AP
又∵N 是 PC中点
∴NE 是△CBP的中位线
∴NE=
BC
又点E是B P中点
∴BE=
BP,MB=
AB
∴ME=
AP
∴
∠NEM=∠DAP=90°
∴△NEM∽△DAP
∴∠EMN=∠APD
∴QM=QP
