题目内容

△ABC是边长为4的等边三角形，在射线AB和BC上分别有动点P、Q，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，作PE⊥AC，垂足为E．
（1）如图，当点P在边AB（与点A、B不重合）上，问：
①线段PD与线段DQ之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．
②随着点P、Q的移动，线段DE的长能否确定？若能，求出DE的长；若不能，简要说明理由；
（2）当点P在射线AB上，若设AP=x，CD=y，求：
①y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
②当x为何值时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．

解：（1）证明：①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴△DHC，△APG为等边三角形，
∵AP=CQ，
∴PG=CQ，∠PGC=∠DCQ=120°，
∵∠GPD=∠Q，
∵△PDG≌△QDC，
∴DP=DQ，
②能确定，
∵PE⊥AC，
∴AE=EG，
∵GD=DC，AB=BC=AC=4，
∴GD+EG+AE+DC=4，
∵2（GD+EG）=4，
即DE=2；

（2）①∵PD=DQ，DH∥AB，AP=x，CD=y，
∴DH= $\text{[math]}$ BP，
∵AB=4，
∴BP=4-x或BP=x-4，

∴y= $\text{[math]}$ （4-x）=2- $\text{[math]}$ x（0＜x≤4）或y= $\text{[math]}$ x-2（x＞4），
②当0＜x≤4时，无解，
当x＞4时，
∵PE⊥AC，∠A=60°AP=x，
∴PE=sin60°×x= $\text{[math]}$ x，
∵AB=BC=AC=4，
∴S_△ABC=4 $\text{[math]}$ ，
∵PD=DQ，
∴结合图形可知S_△PCQ=2S_△PDC=2× $\text{[math]}$ ，
∴2× $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
∴（ $\text{[math]}$ x-2）× $\text{[math]}$ x=4 $\text{[math]}$ ，
化简得：x²-4x-16=0，
解得：x₁=2-2 $\text{[math]}$ （不符合题意，舍去） x₂=2+2 $\text{[math]}$ ，
∴x=2+2 $\text{[math]}$ ，
∴当x=2+2 $\text{[math]}$ 时，△PCQ的面积与△ABC的面积相等．
分析：（1）①作PG∥BC交AC于G，DH∥AB交BQ于H，推出△DHC，△APG为等边三角形根据三角形全等，求出DP=DQ；②根据AE=EG，GD=DC，即可算出DE= $\text{[math]}$ AC；
（2）分为两种情况来考虑，当P点在线段AB上或在射线AB上，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找到相等关系，经过等量转换即可求出答案；
（3）分两种情况进行分析，当0＜x≤4时，无解；当x＞4时，结合图形找相等面积的三角形，求出PE的长度，用含x的代数式表示出△PCQ的面积，即可根据题意得出关于x的一元二次方程，解方程，得x的值．
点评：本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、根据实际问题列一次函数关系式等，本题关键在于作出辅助线，找出等量关系