Question

已知△ABC是边长为4的等边三角形，BC在x轴上，点D为BC的中点，点A在第一象限内，AB与y轴的正半轴相交于点E，点B（-1，0），P是AC上的一个动点（P与点A、C不重合）
（1）求点A、E的坐标；
（2）若y=-

6 3

7

x²+bx+c过点A、E，求抛物线的解析式；
（3）连接PB、PD，设L为△PBD的周长，当L取最小值时，求点P的坐标及L的最小值，并判断此时点P是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说明你的判断理由．

Answer 1

分析：（1）△ABC是边长为4的等边三角形，则BC=4，而点D为BC的中点，BD=2，点B（-1，0），则OD=1，就可以求出A的横坐标，等边三角形的高线长，就是A的纵坐标．在直角三角形OBE中，根据三角函数可以求出OE的长，即得到E点的纵坐标．
（2）已经求出A，E的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（3）先作点D关于AC的对称点D'，连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，即△PBD的周长L取最小值．根据三角函数求的D′的坐标，再求出直线BD′的解析式，以及直线AC的解析式，两直线的交点就是P的坐标．把点P的坐标代入二次函数的解析式，就可以判断是否在函数的图象上．

解答：解：（1）连接AD，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，又B的坐标为（-1，0），BC在x轴上，A在第一象限，
∴点C在x轴的正半轴上，
∴C的坐标为（3，0），由中点坐标公式，得：D的坐标为（1，0）．
显然AD⊥BC且AD=

3

BD=2

3

，
∴A的坐标是（1，2

3

）．
OE=

1

2

AD，得E（0，

3

）；

（2）因为抛物线y=-

6 3

7

x²+bx+c过点A、E，
由待定系数法得：c=

3

，b=

13 3

7

，
抛物线的解析式为y=-

6 3

7

x2+

13 3

7

x+

3

；

（3）大家记得这样一个常识吗？
“牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短”即确定l上的点P，
方法是作点A关于l的对称点A'，连接A'B与l的交点P即为所求．
本题中的AC就是“河”，B、D分别为“出发点”和“草地”．
由引例并证明后，得先作点D关于AC的对称点D'，
连接BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，
即△PBD的周长L取最小值．
∵D、D′关于直线AC对称，
∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，
DF=

3

，DD'=2

3

，
求得点D'的坐标为（4，

3

），
直线BD'的解析式为：y=

3

5

x+

3

5

，
直线AC的解析式为：y=-

3

x+3

3

，
求直线BD'与AC的交点可得点P的坐标（

7

3

，

2 3

3

）．
此时BD'=

BG2+D′G2

=

52+( 3 )2

=2

7

，
所以△PBD的最小周长L为2

7

+2，
把点P的坐标代入y=-

6 3

7

x2+

13 3

7

x+

3

成立，所以此时点P在抛物线上．

点评：本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，求两条线段的和最小的问题，一般是转化为两点之间线段最短的问题．