题目内容

已知，如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
下面是某同学的证明过程，请你阅读下面解答过程，并回答问题．
证明：∵AB=AC
∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中
AB=AC
∠B=∠C
AD=AE
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE
（1）找一找这种证明方法的问题在哪里？
（2）你能说明这种证明方法为什么有问题吗？（尝试画出反例）
（3）这种证明方法一定错误吗？有哪些情况可以正确，请画图并尝试证明．

分析：（1）根据全等三角形的判定得出证明全等有误SSA；
（2）根据已知画出图形分析即可；
（3）当∠A=90°时以及当∠A是钝角时，分别根据全等三角形的判定与性质得出即可．

解答：

解：（1）证明全等有误SSA；

（2）反例：如图△ABD与△ABC，∠A=∠A，AB=AB，BD=BC，但是两个三角形很明显不全等．

（3）其它特殊情况下全等：
ⅰ）当∠A=90°时，两个三角形全等，而且就是我们曾经学习过的HL（具体证明方法，由勾股定理及构造等腰三角形法）；
ⅱ）当∠A是钝角时，如图：∠CAB=∠FDE，FD=CA，FE=CB，求证：△FDE≌△CAB
证明：延长ED，过点F作FI⊥DE于点I，延长BA，过点C作CH⊥AB于点H，
∵∠CAB=∠FDE，
∴∠CAH=∠FDI，
在△FID和△CHA中，

∠FID=∠CHA=90°

∠FDI=∠CAH

FD=CA

，
∴△FID≌△CHA（AAS），
∠FI=CH，DI=HA，
在Rt△FIE和Rt△CHB中，

FI=CH

EF=BC

，
∴Rt△FIE≌Rt△CHB，
∴EI=HB，
∴DE=AB，
在△FDE和△CAB中，

EF=CB

FD=CA

DE=AB

，
∴△FDE≌△CAB（SSS），
结论：当两个三角满足“SSA”时，不一定全等．当对应角为锐角时，两个三角形不一定全等；当对应角为直角或钝角时，两个三角形一定全等．