题目内容
【题目】如图①，四边形ABCD是矩形，AB＝2，BC＝4，点E是线段AD上一动点（不与A，D重合），点F是线段AB延长线上一动点，连接CE，EF，EF交BC于点G，设AE＝x，AF＝y，已知y与x之间的函数关系如图②所示．
（1）求图②中y与x的函数表达式；
（2）求证：CE⊥CF；
（3）是否存在x的值，使得△CEG是等腰三角形？如果存在，求出x的值；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）y＝﹣2x+10；（2）详见解析；（3）x的值为
或5﹣
或3．
【解析】
（1）由题意可设y＝kx+b，，再用待定系数法把（2,6）与（0,10）两点代入求解即可；
（2）用两边对应成比例且夹角相等证明△CDE∽△CBF，从而得∠DCE＝∠BCF，问题即得解决；
（3）①当CE＝CG时，可证△FEA≌△FEC，从而得EC＝AE，再在Rt△CDE中用勾股定理列出方程求解即可；②当EC＝EG时，在图①中作EH⊥CG于H，由EH∥BF得
，再代入相关数据求解即得；③当GE＝GC时，可证G为EF中点，则B为AF中点，问题即得解决.
解：（1）设y＝kx+b，
由图象得：当x＝2时，y＝6，当x＝0时，y＝10，
∴
，解得
，
∴图②中y与x的函数表达式是y＝﹣2x+10．
（2）∵AE＝x，BC＝4
∴DE＝4﹣x，
∵AF＝﹣2x+10，AB＝2，
∴BF＝﹣2x+8，
∴
，
∵
，
∴
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DCB＝∠CBA＝∠CBF＝90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴∠DCE＝∠BCF，
∴∠ECF＝∠DCB＝90°，
∴CE⊥CF．
（3）假设存在x的值，使得△CEG是等腰三角形．
①当CE＝CG时，则∠CEG＝∠CGE，
∵AD∥BC，
∴∠AEF＝∠CGE，
∴∠AEF＝∠CEF，
∵FE＝FE，∠A＝∠FCE＝90°，
∴△FEA≌△FEC（AAS），
∴EC＝AE＝x，
在Rt△CDE中，∵EC2＝DE2+CD2，
∴x2＝（4﹣x）2+22，
解得x＝．
②当EC＝EG时，如图①中，作EH⊥CG于H．
∵EC＝EG，EH⊥CG，
∴CH＝HG＝DE＝4﹣x，
∴BG＝4﹣2（4﹣x）＝2x﹣4，
∵EH∥BF，
∴，
∴
，
解得x＝5﹣或5+（舍弃）．
③当GE＝GC时，则有∠GEC＝∠GCE，
∵∠GEC+∠EFC＝90°，∠GCE+∠GCF＝90°，
∴∠GCF＝∠GFC，
∴GC＝GF，
∴GE＝GF，
∵BG∥AE，
∴AB＝BF＝2，
∴﹣2x+8＝2，
∴x＝3．
综上所述，x的值为或5﹣或3．
