Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线y= x+1与x轴交于点A，且与双曲线y= 的一个交点为B（ ，m）．
（1）求点A的坐标和双曲线y= 的表达式；
（2）若BC∥y轴，且点C到直线y= x+1的距离为2，求点C的纵坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0，则有0= x+1，解得x=﹣ ，

即点A的坐标为（﹣ ，0）．

令x= ，则m= +1=3，

即点B的坐标为（ ，3）．

将点B（ ，3）代入到双曲线y= 中得3= ，

解得k=8，

∴双曲线的表达式为y= ．

（2）解：依照题意画出图形，令直线y= x+1与y轴的交点为D，过点C作CE⊥直线y= x+1于点E，如图所示．

∵BC∥y轴且点B的坐标为（ ，3），

∴直线BC的表达式为x= ，

设点C的坐标为（ ，n）．

令y= x+1中x=0，则y=1，

∴点D（0，1），

∴AD= = ，OA= ．

∵BC∥y轴，

∴∠CBE=∠ADO，

∵∠CEB=∠AOD=90°，

∴△BEC∽△DOA，

∴ ．

∵CE=2，BC=|n﹣3|，

∴ ，

解得：n= 或n= ．

故点C的纵坐标为 或 ．

【解析】（1）令直线y= x+1中y=0，解关于x的一元一次方程即可得出A点的坐标，由点B在直线y= x+1上，可求出m的值，再将点B坐标代入双曲线y= 中，解关于k的一元一次方程即可求出双曲线y= 的表达式；（2）令直线y= x+1与y轴的交点为D，过点C作CE⊥直线y= x+1于点E，由BC∥y轴结合B点坐标即可找出直线BC的函数表达式，设C点的坐标为（ ，n），由平行线的性质可得出∠CBE=∠ADO，结合∠CEB=∠AOD=90°即可得出△BEC∽△DOA，根据相似三角形的性质可得出 ，由此即可得出关于n的函数绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出n值．