Question

已知直线l₁∥l₂，直线l₃，l₄分别与l₁，l₂交于点B，F和A，E，点P是直线l₃上一动点（不与点B，F重合），设∠BAP=∠1，∠PEF=∠2，∠APE=∠3．
（1）如上图，当点P在B，F两点之间运动时，试确定∠1，∠2，∠3之间的关系，并给出证明；
（2）当点P在B，F两点外侧运动时，试探究∠1，∠2，∠3之间的关系，画出图形，给出结论，不必证明．

Answer 1

分析：（1）首先过点P作PC∥l₁，交AE于点C，由直线l₁∥l₂，可得CP∥l₁∥l₂，然后由两直线平行，同位角相等，求得答案；
（2）有两种情况；①当点P在BF的延长线上运动时（如下图2），∠3+∠2=∠1．②当点P在FB的延长线上运动时（如下图3），∠3+∠1=∠2．

解答：解：（1）∠1+∠2=∠3．
证明：过点P作PC∥l₁，交AE于点C，
则∠1=∠APC，∠α=∠β，
∵l₁∥l₂，
∴∠α=∠γ，
∴∠β=∠γ，
∵CP∥EF，
∴∠2=∠CPE，
∴∠1+∠2=∠APC+∠CPE=∠APE，
即∠1+∠2=∠3；

（2）有两种情况；
①当点P在BF的延长线上运动时（如图2），∠3+∠2=∠1．
证明：过点P作CP∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴CP∥l₁∥l₂，
∴∠APC=∠1，∠EPC=∠2，
∴∠3=∠ACP-∠ECP=∠1-∠2，
∴∠3+∠2=∠1．
②当点P在FB的延长线上运动时（如图3），∠3+∠1=∠2．
同理可得：∠3+∠1=∠2．

点评：此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．