Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．
（1）求证：BD=BF；
（2）若CF=1，cosB= ，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OE，

∵AC与圆O相切，

∴OE⊥AC，

∵BC⊥AC，

∴OE∥BC，

又∵O为DB的中点，

∴E为DF的中点，即OE为△DBF的中位线，

∴OE= BF，

又∵OE= BD，

则BF=BD

（2）解：设BC=3x，根据题意得：AB=5x，

又∵CF=1，

∴BF=3x+1，

由（1）得：BD=BF，

∴BD=3x+1，

∴OE=OB= ，AO=AB﹣OB=5x﹣ = ，

∵OE∥BF，

∴∠AOE=∠B，

∴cos∠AOE=cosB，即 = ，即 = ，

解得：x= ，

则圆O的半径为 = ．

【解析】（1）连接OE，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OE垂直于AC，再由BC垂直于AC，得到OE与BC平行，根据O为DB的中点，得到E为DF的中点，即OE为三角形DBF的中位线，利用中位线定理得到OE为BF的一半，再由OE为DB的一半，等量代换即可得证；（2）在直角三角形ABC中，由cosB的值，设BC=3x，得到AB=5x，由BC+CF表示出BF，即为BD的长，再由OE为BF的一半，表示出OE，由AB﹣OB表示出AO，在直角三角形AOE中，利用两直线平行同位角相等得到∠AOE=∠B，得到cos∠AOE=cosB，根据cosB的值，利用锐角三角函数定义列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可求出圆的半径长．