题目内容
△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上．（1）如图①若AD于垂直x轴，垂足为点D．点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1），求点B的坐标．
（2）如图②，直角边BC在两坐标轴上滑动，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，请猜想BD与AE有怎样的数量关系，并证明你的猜想．
（3）如图③，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①
| CO-AF |
| OB |
| CO+AF |
| OB |
分析：（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．
（2）此题有两种证法：①延长AE交BC的延长线于点，证明△ABE≌△FBE即易求AE=
BD；②作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD．证明Rt△GDF≌Rt△EAD即易求AE=
BD．
（3）
=1，若证明则过点A作AM⊥CO于M，证明△BOC≌△CMA即可．
（2）此题有两种证法：①延长AE交BC的延长线于点，证明△ABE≌△FBE即易求AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）
| CO-AF |
| OB |
解答：解：（1）∵点C坐标是（-1，0），点A的坐标是（-3，1）
∴AD=OC（1分）
在Rt△ADC和Rt△COB中
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL）（2分）
∴OB=CD=2（3分）
∴点B的坐标是（0，2）（4分）
（2）猜想：AE=
BD（5分）
证法一：延长AE交BC的延长线于点F，
∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
得AE=EF=
AF，
在△BCD和△ACF中，
∴△BCD≌△ACF（ASA）
得AF=BD（7分）
∴AE=
BD（8分）
证法二：作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD
则GB=GDFD=BF=
BD
∴∠GBD=∠GDF
∵y轴平分∠ABC，且∠ABC=45°
∴∠GBD=∠GDF=22.5°
∵∠AGD=∠GBD+∠GDF
∴∠AGD=45°
∵∠BAC=45°
∴∠AGD=∠BAC
∴DG=AD
∵∠CBD+∠CDB=∠DAE+∠ADE=90°，且∠CDB=∠ADE
∴∠DAE=∠CBD=22.5°
∴∠DAE=∠GDF
在Rt△GDF和Rt△EAD中
∴Rt△GDF≌Rt△EAD（AAS）
∴AE=DF=
BD
（3）结论
成立（9分）
=1（10分）
∴AD=OC（1分）
在Rt△ADC和Rt△COB中
|
∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL）（2分）
∴OB=CD=2（3分）
∴点B的坐标是（0，2）（4分）
（2）猜想：AE=
| 1 |
| 2 |
证法一：延长AE交BC的延长线于点F，
∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
得AE=EF=
| 1 |
| 2 |
在△BCD和△ACF中，
|
∴△BCD≌△ACF（ASA）
得AF=BD（7分）
∴AE=
| 1 |
| 2 |
证法二：作BD的中垂线交BD于F，AB于点G，连接GD
则GB=GDFD=BF=
| 1 |
| 2 |
∴∠GBD=∠GDF
∵y轴平分∠ABC，且∠ABC=45°
∴∠GBD=∠GDF=22.5°
∵∠AGD=∠GBD+∠GDF
∴∠AGD=45°
∵∠BAC=45°
∴∠AGD=∠BAC
∴DG=AD
∵∠CBD+∠CDB=∠DAE+∠ADE=90°，且∠CDB=∠ADE
∴∠DAE=∠CBD=22.5°
∴∠DAE=∠GDF
在Rt△GDF和Rt△EAD中
|
∴Rt△GDF≌Rt△EAD（AAS）
∴AE=DF=
| 1 |
| 2 |
（3）结论
| CO-AF |
| OB |
| CO-AF |
| OB |
点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题较难，尤其（3）须巧妙借助辅助线作出全等三角形．
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