题目内容
【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．
（1）求线段CD的长；
（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？
（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
【答案】
（1）
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC= 
BCAC= ABCD．
∴CD= 
= 
=4.8．
∴线段CD的长为4.8．
（2）
解：由题可知有两种情形，
设DP=t，CQ=t．则CP=4.8﹣t．
①当PQ⊥CD时，如图a
∵△QCP∽△△ABC
∴ 
= 
，即 
= 
，
∴t=3；
②当PQ⊥AC，如图b．
∵△PCQ∽△ABC
∴ 
= 
，即 
= 
，解得t= 
，
∴当t为3或 时，△CPQ与△△ABC相似；
（3）
解：①若CQ=CP，如图1，
则t=4.8﹣t．
解得：t=2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH= QC= 
．
∵△CHP∽△BCA．
∴ 
= ．
∴ 
= ，解得t= 
．
③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t= 
．
综上所述：当t为2.4秒或 秒或 秒时，△CPQ为等腰三角形．
【解析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；（3）根据题意画出图形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三种情况进行讨论．
【考点精析】通过灵活运用等腰三角形的判定和勾股定理的概念，掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）．这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．
