题目内容

【题目】如图,以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+cx轴于A、B两点,交y轴于点C,直线BC的表达式为y=﹣x+3.

(1)求抛物线的表达式;

(2)在直线BC上有一点P,使PO+PA的值最小,求点P的坐标;

(3)在x轴上是否存在一点Q,使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)P ( ,);(3)当Q的坐标为(0,0)或(9,0)时,以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似.

【解析】

(1)先求得点B和点C的坐标,然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的方程,从而可求得b、c的值;(2)作点O关于BC的对称点O′,则O′(3,3),则OP+AP的最小值为AO′的长,然后求得AO′的解析式,最后可求得点P的坐标;(3)先求得点D的坐标,然后求得CD、BC、BD的长,依据勾股定理的逆定理证明BCD为直角三角形,然后分为AQC∽△DCBACQ∽△DCB两种情况求解即可.

(1)把x=0代入y=﹣x+3,得:y=3,

C(0,3).

y=0代入y=﹣x+3得:x=3,

B(3,0),A(﹣1,0).

C(0,3)、B(3,0)代入y=﹣x2+bx+c得: ,解得b=2,c=3.

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.

(2)如图所示:作点O关于BC的对称点O′,则O′(3,3).

O′O关于BC对称,

PO=PO′.

OP+AP=O′P+AP≤AO′.

OP+AP的最小=O′A==5.

O′A的方程为y=

P点满足解得:

所以P ( ,)

(3)y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,

D(1,4).

又∵C(0,3,B(3,0),

CD=,BC=3,DB=2

CD2+CB2=BD2

∴∠DCB=90°.

A(﹣1,0),C(0,3),

OA=1,CO=3.

又∵∠AOC=DCB=90°,

∴△AOC∽△DCB.

∴当Q的坐标为(0,0)时,AQC∽△DCB.

如图所示:连接AC,过点CCQAC,交x轴与点Q.

∵△ACQ为直角三角形,COAQ,

∴△ACQ∽△AOC.

又∵△AOC∽△DCB,

∴△ACQ∽△DCB.

,即,解得:AQ=10.

Q(9,0).

综上所述,当Q的坐标为(0,0)或(9,0)时,以A、C、Q为顶点的三角形与BCD相似.

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