Question

如图1，已知直线y=-

1

2

x与抛物线y=-

1

4

x²+6交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A，B两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A，B构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）联立两函数的解析式即可求出A、B点的坐标．
（2）可作AB的垂直平分线设其与x轴，y轴的交点分别为C、D，与AB的交点为M，可根据△BEO∽△OCM求出OC的长，同理可求出OD的长，即可得出C、D的坐标，用待定系数法即可求出AB垂直平分线的解析式．（另一种解法，可根据A、B的坐标得出AB中点的坐标，先求出直线AB的解析式，由于AB的垂直平分线与AB垂直，因此它的斜率与AB的斜率的乘积为-1，由此可得出所求直线的斜率，然后将中点坐标代入即可求出其解析式．）
（3）要使三角形ABP的面积最大，那么P到AB的距离就最大，因此P点必在与直线AB平行且与抛物线只有一个交点的一次函数上（设此直线与x轴，y轴的交点为G、H），据此可求出此直线的解析式和P点的坐标．然后可通过在三角形OHG中，根据面积的不同表示方法求出P点到AB的距离（即O到GH的距离），进而可求出三角形ABP的面积．

解答：解：（1）依题意得

y=- 1 4 x2+6 y=- 1 2 x

解之得

x1=6 y1=-3

x2=-4 y2=2

∴A（6，-3），B（-4，2）

（2）作AB的垂直平分线交x轴，y轴于C，D两点，交AB于M（如图1），
由（1）可知：OA=3

5

，OB=2

5

∴AB=5

5

1

2

AB-OB=

5

2

过B作BE⊥x轴，E为垂足
由“△BEO∽△CMO，得：

OC

OB

=

OM

OE

，
∴OC=

5

4

同理：OD=

5

2

，
∴C（

5

4

，0），D（0，-

5

2

）
设CD的解析式为y=kx+b（k≠0）
∴

0= 5 4 k+b - 5 2 =b

∴

k=2 b=- 5 2

∴AB的垂直平分线的解析式为：y=2x-

5

2

．

（3）若存在点P使△APB的面积最大，则点P在与直线AB平行且和抛物线只有一个交点的直线
y=-

1

2

x+m上，并设该直线与x轴，y轴交于G，H两点（如图2）．
∴

y=- 1 2 x+m y=- 1 4 x2+6

∴

1

4

x²-

1

2

x+m-6=0
∵抛物线与直线只有一个交点，
∴△=（-

1

2

）²-4×

1

4

（m-6）=0，
∴m=

25

4

，
故

1

4

x²-

1

2

x+

1

4

=0，即（x-1）²=0，
解得：x=1，
将x=1代入y=-

1

2

+

25

4

得：y=

23

4

，
∴P（1，

23

4

）
在直线GH：y=-

1

2

x+

25

4

中，
∴G（

25

2

，0），H（0，

25

4

）
∴GH=

25

4

5

设O到GH的距离为d，
∵

1

2

GH•d=

1

2

OG•OH
∵

1

2

×

25 5

4

d=

1

2

×

25

2

×

25

4

∴d=

5 5

2

，
又∵由AB∥GH
∴P到AB的距离等于O到GH的距离d．
∴S_最大面积=

1

2

AB•d=

1

2

×5

5

×

5 5

2

=

125

4

．

点评：本题主要考查二次函数、一元二次方程的根判别式及一些几何知识，是全卷的压轴题，综合性很强，要求学生全面而扎实地掌握所学知识，第（3）小题很有创意又有一定的探索性，总之，这是一道能很好地考查学生初中三年积累的好题．