题目内容

如图1,已知直线y=kx与抛物线y=-
4
27
x2+
22
3
交于点A(3,6).
(1)求k的值;
(2)点P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线PM,交x轴于点M(点M、O不重合),交直线OA于点Q,再过点Q作直线PM的垂线,交y轴于点N.试探究:线段QM与线段QN的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值;如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B为抛物线上对称轴右侧的点,点E在线段OA上(与点O、A不重合),点D(m,0)是x轴正半轴上的动点,且满足∠BAE=∠BED=∠AOD.继续探究:m在什么范围时,符合条件的E点的个数分别是1个、2个?
分析:(1)将点A的坐标代入到正比例函数的解析式后利用待定系数法求出直线y=kx的解析式;
(2)如答图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H,构造相似三角形△QHM与△QGN,将线段QM与线段QN的长度之比转化为相似三角形的相似比,即
QM
QN
=
QH
QG
=
QH
OH
=tan∠AOM=2为定值.需要注意讨论点的位置不同时,这个结论依然成立;
(3)延长AB交x轴于点F,过点F作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R.由已知条件角的相等关系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED.借助得到的二次函数图象(如答图3),可见m在不同取值范围时,x的取值(即OE的长度,或E点的位置)有1个或2个.这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题.
另外,在相似三角形△ABE与△OED中,运用线段比例关系之前需要首先求出AB的长度.如答图2,可以通过构造相似三角形,或者利用一次函数(直线)的性质求得AB的长度.
解答:解:(1)把点A(3,6)代入y=kx 得;6=3k,即k=2.…(3分);
(2)线段QM与线段QN的长度之比是一个定值,…(4分);
理由如下:
如图1,过点Q作QG⊥y轴于点G,QH⊥x轴于点H.
①当QH与QM重合时,显然QG与QN重合,
此时
QM
QN
=
QH
QG
=
QH
OH
=tan∠AOM=2
.…(6分);
②当QH与QM不重合时,
∵QN⊥QM,QG⊥QH不妨设点H,G分别在x、y轴的正半轴上,
∴∠MQH=∠GQN.
又∵∠QHM=∠QGN=90°,∴△QHM∽△QGN.∴
QM
QN
=
QH
QG
=
QH
OH
=tan∠AOM=2

当点P、Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得
QM
QN
=2
.…(8分);
∴线段QM与线段QN的长度之比是一个定值.
(3)如图2,延长AB交x轴于点F,过点F作FC⊥OA于点C,过点A作AR⊥x轴于点R.
∵∠AOD=∠BAE,∴AF=OF.
∴OC=AC=
1
2
OA=
5
2
5

∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,
∴△AOR∽△FOC.∴
OF
OC
=
AO
OR
=
3
5
3
=
5
.∴OF=
5
2
5
×
5
=
15
2

∴点F(
15
2
,0).…(9分);
设点B(x,-
4
27
x2+
22
3
x
),过点B作BK⊥AR于点K,则△AKB∽△ARF.
BK
FR
=
AK
AR

,即
x-3
7.5-3
=
6-(-
4
27
x2+
22
3
x)
6

解得x1=6,x2=3(舍去).∴点B(6,2).…(10分);
∴BK=6-3=3,AK=6-2=4.∴AB=5.
在△ABE与△OED中,∵∠BAE=∠BED,
∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB.
∴∠ABE=∠DEO.
∵∠BAE=∠EOD,∴△ABE∽△OED.
设OE=x,则AE=3
5
-x (0<x<3
5
),
由△ABE∽△OED得
AE
AB
=
OD
OE
,即
3
5
-x
5
=
m
x

m=
1
5
x(3
5
-x)=-
1
5
x2+
3
5
5
x=-
1
5
(x-
3
2
5
)2+
9
4
(0<x<3
5
)

∴顶点为(x-
3
2
5
,\user1 
9
4
)

.如图3,当m=
9
4
时,OE=x=
3
2
5
,此时E点有1个;
0<m<
9
4
时,任取一个m的值都对应着两个x值,此时E点有2个.…(14分);
∴当m=
9
4
时,E点只有1个,当0<m<
9
4
时,E点有2个.
点评:本题是中考压轴题,难度较大,解题核心是相似三角形与抛物线的相关知识,另外也考查了一次函数、勾股定理等重要知识点.解题的难点在于转化思想的运用,本题第(2),(3)问都涉及到了问题的转化,要求同学们能够将所求解的问题转化为常见的数学问题,利用自己所熟悉的数学知识去解决问题,否则解题时将不知道从何下手而导致失分.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网