Question

【题目】在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将大小不相同的正方形ABCD与正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上．

（1）小明发现DG＝BE且DG⊥BE，请你给出证明；

（2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A转动，当点B恰好落在线段DG上时

①猜想线段DG和BE的位置关系是　 　．

②若AD＝2，AE＝，求△ADG的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）①DG⊥BE；②5.

【解析】

（1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得到结论；

（2）①同理证明△ADG≌△ABE，根据全等三角形的性质即可得到结论；

②分别计算DM、MG和AM的长，根据三角形面积可得结论．

证明：（1）如图1，延长EB交DG于点H，

∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，

∴AD＝AB，∠DAG＝∠BAE＝90°，AG＝AE

在△ADG与△ABE中，

，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴∠AGD＝∠AEB，DG＝BE，

∵△ADG中，∠AGD+∠ADG＝90°，

∴∠AEB+∠ADG＝90°，

∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE＝180°，

∴∠DHE＝90°，

∴DG⊥BE；

（2）①DG⊥BE，

理由是：如图2，∵四边形ABCD和四边形AEFG都为正方形，

∴AD＝AB，∠DAB＝∠GAE＝90°，AG＝AE，

∴∠DAB+∠BAG＝∠GAE+∠BAG，即∠DAG＝∠BAE，

在△ADG和△ABE中，

，

∴△ADG≌△ABE（SAS），

∴∠ABE＝∠ADG

∴∠DBE＝∠ABE+∠ABD＝∠ABD+∠ADG＝90°，

∴DG⊥BE；

故答案为：DG⊥BE；

②如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，

∠AMD＝∠AMG＝90°，

∵BD是正方形ABCD的对角线，

∴∠MDA＝45°

在Rt△AMD中，

∵∠MDA＝45°，AD＝2，

∴AM＝DM＝2，

在Rt△AMG中，

∵AM2+GM2＝AG2

∴GM＝＝3，

∵DG＝DM+GM＝2+3＝5，

∴S△ADG＝DGAM＝×5×2＝5．